Desigualdade triangular

Em qualquer triângulo, tem-se a<b+c, b<a+c e c<a+b.

A desigualdade triangular é um teorema da geometria euclidiana que afirma que, num triângulo o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os Elementos, de Euclides, este teorema é a Proposição 20 do Livro I. É nada mais que uma reformulação do conceito intuitivo de que é mais curto o caminho reto entre A e B que o caminho de A até C somado ao de C até B.

A desigualdade triangular nos números reais

No conjunto dos números reais, chamamos de desigualdade triangular, em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão envolvendo módulos:

$|u+v|\le |u|+|v|$.

Que dá origem a outras desigualdades:

• $|u-v|\le |u|+|v|$
• $|u|-|v|\le |u-v|$
• $||u|-|v||\le |u-v|$

Para a primeira, escreva $|u-v|=|u+(-v)|\le |u|+|-v|=|u|+|v|$

Para a segunda, $|u|=|v+(u-v)|\le |v|+|u-v|$

A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v.

A desigualdade triangular em ${ℝ}^n$

Teorema

Em ${ℝ}^n$, quaisquer que sejam $x,y\in {ℝ}^n$, tem-se:

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

Havendo igualdade se e só se $y=\alpha x$ com $|1+\alpha |=1+|\alpha |$ .

Note que $\alpha =0$ está incluído mas $\alpha \le -1$ não.

Demonstração

Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema facilmente.

Tem-se (utilizando propriedades do produto interno):

$\Vert x+y{\Vert }^2=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+2⟨x,y⟩+⟨y,y⟩$ (I)

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I):

$⟨x,x⟩+2⟨x,y⟩+⟨y,y⟩\le \Vert x{\Vert }^2+2\Vert x\Vert \Vert y\Vert +\Vert y{\Vert }^2={(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert )}^2$

Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que:

$\Vert x+y{\Vert }^2\le {(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert )}^2\iff \Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ Q.E.D.

A segunda parte do teorema decorre diretamente da aplicação da desigualdade de Cauchy-Schwarz (atentar no segundo termo do lado direito da equação).

Desigualdade triangular para números complexos

Sejam X e Y dois números complexos, então:

• $|X+Y|\le |X|+|Y|$
• $|X|-|Y|\le |X-Y|$

Desigualdade triangular em espaço métrico

A desigualdade triangular é tão importante nos conceitos da análise matemática e topologia que se torna um axioma na definição de métrica, ou seja toda métrica d deve satisfazer:

$d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$

Desigualdade triangular em espaço normado

A desigualdade triangular em espaços normados escreve-se da seguinte forma:

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

E generaliza-se por indução matemática para:

$\Vert \sum _{n=1}^N{x}_n\Vert \le \sum _{n=1}^N\Vert x_n\Vert$

E também para séries infinitas:

$\Vert \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n\Vert \le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert x_n\Vert$

Desigualdade triangular para integrais

A seguinte desigualdade é valida para qualquer função real $f(x)$ integrável.

$|\underset{V}{\int }f(x)dx|\le \underset{V}{\int }|f(x)|dx$

Ver também

• SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010.