Função limitada

Em matemática, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. Analogamente, dizemos que uma função é ilimitada quando ela não é limitada.

Função real limitada

Uma função real $f:D\to ℝ$ é limitada se existe uma constante $M\ge 0$ tal que:

$|f(x)|\le M,\mathrm{\forall }x\in D$

Além disso, dizemos que $f$ é uma função limitada superiormente quando existe $M\in ℝ$ tal que:

$f(x)\le M,\mathrm{\forall }x\in D$.

Analogamente, dizemos que $f$ é limitada inferiormente quando existe $m\in ℝ$ tal que:

$m\le f(x),\mathrm{\forall }x\in D$.

Desta forma, podemos observar que uma função real é limitada quando for simultaneamente limitada superiormente e inferiormente. Analogamente, uma função real é ilimitada quando for ilimitada superiormente ou inferiormente.

Propriedades

Sejam duas funções $f$ e $g$ de contra-domínio real. Se $f$ é limitada, e se $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0$, então $\underset{x\to a}{\lim }f(x)g(x)=0$.

Demonstração

Suponhamos que $g$ é uma função não-negativa. Se $g\equiv 0$ não há nada mais a fazer. Se $g$ é positiva, temos que como $f$ é limitada, então existe $M\in ℝ$, $M\ge 0$ tal que $|f(x)|\le M$. Segue que:

$-M\le f(x)\le M$ e assim $-Mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x)$.

Logo:

$\underset{x\to a}{\lim }-Mg(x)\le \underset{x\to a}{\lim }f(x)g(x)\le \underset{x\to a}{\lim }Mg(x)$

$-M\underset{x\to a}{\lim }g(x)\le \underset{x\to a}{\lim }f(x)g(x)\le M\underset{x\to a}{\lim }g(x)$

$0\le \underset{x\to a}{\lim }f(x)g(x)\le 0$

Assim, pelo teorema do confronto, $\underset{x\to a}{\lim }f(x)g(x)=0$. O caso de $g$ negativa segue raciocínio análogo.

Observação

• Note que um funcional linear nunca é limitado neste sentido. O termo funcional linear limitado é um funcional que leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.