Funcional

Em matemática, em especial álgebra linear e análise, define-se como funcional, toda função cujo domínio é um espaço vetorial e a imagem é o corpo de escalares. Intuitivamente, pode-se dizer que um funcional é uma "função de uma função".

Há autores que exigem que um funcional seja linear por definição, deixando o termo aplicação não-linear para designar tais funcionais não lineares.

A história, no entanto, consagrou o termo funcional de Minkowski para certas funções não lineares definidas em espaços vetoriais topológicos localmente convexos.

Definições formais

• Seja $𝕍$ um espaço vetorial sobre um corpo $𝕂$, então é um funcional qualquer função $𝕍\to 𝕂$.

Como este espaço vetorial $𝕍$ (domínio de um funcional) geralmente é de funções, há outra definição específica para este caso:

• Um funcional J é uma regra de correspondência que associa a cada função "f" em uma certa classe $𝕍$ um único número real.
  • O conjunto $𝕍$, o domínio, é uma classe de funções.
  • O conjunto de números reais associados com as funções em $𝕍$ é chamado de conjunto imagem do funcional.

Exemplo

Considere ${ℝ}^2$ sobre o corpo dos números reais, onde cada vetor pode ser denotado por $𝐱=(x_1,x_2)$ . Eis alguns exemplos de funcionais:

• $l_1(𝐱)=x_1$
• $l_2(𝐱)=x_2$
• $l_3(𝐱)=\Vert 𝐱\Vert =\sqrt{x_1^2+x_2^2}$
• $l_4(𝐱)=𝐱\cdot 𝐲=x_1{y}_1+x_2{y}_2,𝐲=(y_1,y_2)$ é um vetor dado.

Classificação

• Um funcional é dito funcional linear se for linear, ou seja, se $\alpha$ e $\beta$ são escalares:

  $l(\alpha x+\beta y)=\alpha l(x)+\beta l(y)$

• Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional contínuo se for contínuo.
• Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional limitado se sua imagem leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.
• um funcional linear em um espaço vetorial topológico é contínuo se e somente se for limitado.

Ver também

• Espaço dual
• Teorema da representação de Riesz