Convergência uniforme

Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.

Definição

Como comparação, uma sequência de funções $f_n(x):S\to ℝ$ converge pontualmente para uma função $f:S\to ℝ$ se, e somente se:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\text{ e }\mathrm{\forall }x\in S\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\text{ tal que }\mathrm{\forall }n>N\text{ temos que }|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$.

A sequência converge uniformemente quando:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\text{ tal que }\mathrm{\forall }x\in S\text{ e }\mathrm{\forall }n>N\text{ temos que }|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada $\epsilon$ e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada $\epsilon$ um N que se aplica a todo x.

É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na norma do supremo. Mais precisamente, consideremos o conjunto das funções $\varphi :S\to ℝ$ que são limitadas, que designaremos por $ℬ\mathcal{(}𝒮,ℝ)$. Munido das operações de soma de funções e de produto de um escalar real por uma função, este conjunto torna-se num espaço vetorial real (que é, aliás, subespaço do espaço vetorial das funções reais $ℱ(S,ℝ\mathbb{)}$). Através da relação $\Vert \varphi {\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup \{|\varphi (x)|:x\in S\}$ definimos uma aplicação $\varphi \mapsto \Vert \varphi \Vert$ de $ℬ\mathcal{(}𝒮,ℝ)$ em $ℝ$ que constitui uma norma em $ℬ\mathcal{(}𝒮,ℝ)$ e que é chamada norma do supremo. É conhecido que para esta norma, $ℬ\mathcal{(}𝒮,ℝ)$ é um espaço de Banach (p.170).

De notar que se $f_n$ é uma sucessão de funções em $ℬ\mathcal{(}𝒮,ℝ)$ que converge uniformemente para $f$, então também $f\in ℬ\mathcal{(}𝒮,ℝ)$. Basta ter em conta que para cada $x\in S$ e cada $k\in \mathbb{N}$, $|f(x)|⩽|f(x)-f_k(x)|+|f_k(x)|$. Fixando $k$ arbitrariamente, resulta então, para qualquer $x\in S$ que $|f(x)|⩽\Vert f-f_k{\Vert }_{\mathrm{\infty }}+\Vert f_k{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$. Logo $f$ é limitada em $S$.

Continuidade

Tomemos agora $S$, não como um simples conjunto mas como um espaço topológico qualquer.

• Seja $f_n:S\to ℝ$ uma sucessão de funções contínuas em $c\in S$ que converge uniformemente para $f$ em $S.$ Então $f$ é contínua em $c$ (p 132).
• A convergência uniforme preserva a continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.

Se $S$ for um espaço métrico compacto, como por exemplo um intervalo limitado e fechado $[a,b]$, uma relação mais específica entre continuidade e convergência uniforme foi estabelecida por Ulisse Dini no teorema seguinte o qual é apresentado com maior detalhe por E. L. Lima em (p.211).

Teorema (de Dini)

Se $f_n:S\to ℝ$ uma sucessão de funções contínuas em $S$ que em cada ponto de $x\in S$ cresce (ou decresce) para $f(x)$ e $f$ é também contínua em $S$, então $f_n$ converge unformemente para $f$ em $S$.

Para o caso de ser $S=[a,b]$, uma demonstração diferente é apresentada D. G. Figueiredo.

Diferenciabilidade

Seja $S=I\subset ℝ$ um intervalo da reta real.

• Observe no entanto que a diferenciabilidade não é preservada, podendo uma seqüência de funções deriváveis convergir uniformemente para uma função contínua que não é diferenciável em nenhum ponto. Um exemplo desta patologia (matemática) é a construção da função de Weierstrass. De fato, qualquer função contínua pode ser aproximada uniformemente por funções suaves, veja teorema de Stone-Weierstrass.

• Pode acontecer de uma seqüência de funções suaves convergir uniformemente mas a seqüência das derivadas não convergir em nenhum ponto, eis um exemplo:

$f_n(x)=\frac{\sin nx}{\sqrt{n}}$

cujas derivadas são:

${f_n}^{\prime }(x)=\sqrt{n}\cos nx$

Que $f_n(x)$ converge uniformemente para zero é fácil ver pois $|f_n(x)|<\frac{1}{\sqrt{n}}$. Podemos provar que não existe um $x$ tal que ${f_n}^{\prime }(x)$ é limitado. Para tal, suponha que exista tal $x$, como $\sqrt{n}\to \mathrm{\infty }$, $\cos (nx)\to 0$ e portanto existe um $N>0$ com a propriedade:

$n>N⟸|\cos (nx)|<\frac{1}{2}$, mas então:

$|\cos (2nx)|=|2co{s}^{2}nx-1|=1-2co{s}^{2}nx>\frac{1}{2}$, o que contradiz a convergência.

• Pode acontecer de $f_n(x)$ convergir uniformemente e ${f_n}^{\prime }(x)$ pontualmente mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:

$f_n(x)=\frac{x}{1+n^2{x}^2},x\in [-1,1]$

Como $|f_n(x)|\le \frac{1}{2n}$, $f_n$ converge uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f_n}^{\prime }(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-n^2{x}^2}{{(1+n^2{x}^2)}^2}=\{\begin{array}{c}1,x=0\\ 0,x\ne 0\end{array}$

• Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja espaço de Hölder.

Convergência uniforme e integrais

Coloquemo-nos agora perante a norma do supremo em $ℬ\mathcal{(}\mathcal{[}𝒶,𝒷\mathcal{]},ℝ)$e atentemos previamente nos três exemplos seguintes.

Exemplo 1

Designemos por $q_1,q_2,...,q_n,...$, a sucessões dos racionais no intervalo $[0,1]$ e consideremos a sucessão de funções neste intervalo definida através de:

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }x\in \{q_1,...,q_n\}\\ 0,& \text{se }x\in [0,1]\setminus \{q_1,...,q_n\}.\end{array}$

Trata-se de uma sucessão de funções limitadas, cada uma apenas com um número finito de descontinuidades, logo integráveis à Riemann. Para cada $x\in [0,1]$, a correspondente função limite $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)$ é a função de Dirichlet

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }x\in \mathbb{Q}\\ 0,& \text{se }x\in [0,1]\setminus \mathbb{Q},\end{array}$

a qual como é conhecido não é integrável à Riemann.

Por outro lado, $\Vert f_n-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup \{|f_n(x)-f(x)|:x\in [a,b]\}=1$, qualquer que seja $n\in \mathbb{N}$. Logo a convergência não é uniforme, mas apenas pontual.

Exemplo 2

Seja

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}1+x+...+x^n,& \text{se }x\in [0,1[,\\ 0,& \text{se }x=1.\end{array}$

Trata-se de uma sucessão de funções limitadas em $[0,1]$ ($0\le f_n(x)\le n$, para cada $x\in [0,1]$) com apenas uma descontinuidade em $x=1$, consequentemente integráveis. Contudo, a função limite é dada por

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}1/(1-x),& \text{se }x\in [0,1[,\\ 0,& \text{se }x=1,\end{array}$

a qual nem sequer é limitada, não podendo portanto haver convergência uniforme.

Exemplo 3

Mas para $f_n(x)=x/n$, com $x$ em $[0,1]$, temos uma sucessão de funções contínuas, em que a função limite é a função identicamente nula, obviamente integrável, sendo

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{n}dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2n}=0.$

Observe-se que neste caso a convergência é uniforme pois

$\Vert f_n-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\sup \{\frac{x}{n}:x\in [0,1]\}=\frac{1}{n}\to 0$.

Isto é, apenas neste último exemplo, a função limite é integrável e tem-se a validade da seguinte fórmula

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n)(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x.$

Precisamente, o que sucede neste exemplo e não sucede nos outros, é que há convergência uniforme da sucessão de funções $f_n$ para a função limite $f$. Na verdade, é válido o teorema seguinte.

Teorema 1 (da Convergência Uniforme)

Seja $f_n(x)$ uma sucessão de funções integráveis em $[a,b]$, convergindo uniformemente para $f(x)$. Isto é, $f_n$ é uma sucessão em $ℬ\mathcal{(}\mathcal{[}𝒶,𝒷\mathcal{]},ℝ)$ tal que $\Vert f_n-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\to 0$. Então $f$ é integrável em $[a,b]$ e:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x\to \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue.

No caso do integral de Lebesgue a simples convergência pontual é suficiente para garantir a integrabilidade à Lebesgue.

Para o integral de Rieman temos de mostrar que o conjunto $D$, das descontinuidades de $f$, tem medida de Lebesgue nula. Observemos que se $D_n$ for o conjunto das descontinuidades de $f_n$, como a convergência uniforme conserva a continuidade, temos que ${\bigcap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}([a,b]\setminus D_n)\subset [a,b]\setminus D$. Logo $D\subset {\bigcup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_n$. Tendo o conjunto da direita, por via da integrabilidade à Riemann de cada função $f_n$, medida de Lebesgue nula, o mesmo sucede a $D$. Logo $f$ é integrável à Riemann.

Por outro lado, a diferença

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f_n(x)-f(x)|\mathrm{d}x\le \Vert f_n-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}(b-a)$

pelo que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x.$

Este argumento é válido para os dois integrais.

Ver também

• Convergência pontual
• Norma do supremo
• Espaço de Hölder