Integrabilidade à Riemann

Predefinição:Fusão com A integral de Riemann aplica-se apenas a funções $f:[a,b]\to ℝ$ que sejam limitadas. Apesar desta limitação, trata-se de uma integral bastante importante e muito sugestiva na sua formulação pela ligação ao conceito de área de regiões do plano limitadas por gráficos de funções reais de variável real. Sendo uma integral aplicável a uma classe vasta de funções, é conhecido o habitual exemplo da função de Dirichlet como caso de função não integrável à Riemann. Procuraremos aqui detalhar um pouco as qualidades que uma função limitada deve ter para ser integrável à Riemann.

É também conhecido que o integral de Riemann possui várias formulações. Iremos aqui, com brevidade, seguir a formulação de Darboux, segundo a qual a integral de Riemann é resultante das integrais inferior e superior. Estas integrais são formuladas com base nas chamadas somas de Darboux (inferior e superior) constituídas por sua vez a partir de uma dada partição $P=\{x_0,x_1,...,x_n\}$ de $[a,b]$. Por $𝒫([a,b])$ designaremos o conjunto de todas as partições do intervalo $[a,b]$. O valor $|P|=max\{x_i-x_{i-1}:i=1,...,n\}$ é designado por diâmetro da partição.

A soma inferior é definida por

$s_f(P)=\sum _{i=1}^n{m}_i(x_i-x_{i-1})$, onde $m_i=\inf \{f(x):x\in [x_{i-1},x_i]\}$

e a soma superior por

$S_f(P)=\sum _{i=1}^n{M}_i(x_i-x_{i-1})$, onde $M_i=\sup \{f(x):x\in [x_{i-1},x_i]\}$.

A integral inferior de $f$ em $[a,b]$ é então dada por

${\underset{\_}{\int }}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\sup \{s_f(P):P\in 𝒫\mathcal{(}\mathcal{[}𝒶,𝒷\mathcal{]}\mathcal{)}\}$,

e a integral superior de $f$ em $[a,b]$ como

${\bar{\int }}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\inf \{S_f(Q):Q\in 𝒫([a,b])\}$

Tem-se que

${\underset{\_}{\int }}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le {\bar{\int }}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$

e $f$ diz.se integrável à Riemann em $[a,b]$ se

• ${\underset{\_}{\int }}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\bar{\int }}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$

Em tal situação escreve-se

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\underset{\_}{\int }}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\bar{\int }}_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$