Função de Dirichlet

Em matemática, sobretudo na análise real, a função de Dirichlet, em honra a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet fornece um exemplo de função que é descontínua em todos os pontos do domínio.

A função de Dirichlet é uma exemplo de função real limitada que não é integrável à Riemann.

Definição

A função de Dirichlet $D(x)$ está definida em todos os números reais atribuindo o valor 1 aos pontos racionais e 0 aos pontos irracionais:

$D(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q}\\ 0,& x\in ℝ\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}\end{array}$

Também pode ser definida como o limite duplo:

$D(x)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\cos }^{2n}m!\pi x$

Em notação moderna, a função de Dirichlet nada mais é que a função indicadora de $\mathbb{Q}$ em $ℝ$.

Integrabilidade

A função de Dirichlet não é integrável a Riemman em nenhum intervalo do tipo $[a,b]a<b$. Pois seu supremo é 1 e seu ínfimo é 0 em qualquer partição de comprimento positivo.

Não obstante, a função de Dirichlet é quase-sempre nula, ou seja, $D(x)=0$ exceto em um conjunto de medida zero. Sendo assim, $D(x)$ é uma função mensurável à Lebesgue e sua integral de Lebesgue é nula em qualquer mensurável.

Variantes

Uma variante bem conhecida da função de Dirichlet é a Função de Thomae:Predefinição:Carece de fontes

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{se }x=0\\ \frac{1}{q},& \text{se }x=\frac{p}{q},\mathrm{mdc}(p,q)=1,q>0\\ 0,& \text{se }x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}\end{array}$

Onde $p$ e $q$ são inteiros e $\mathrm{mdc}(p,q)$ é o máximo divisor comum de $p$ e $q$.

Esta função é contínua em cada irracional e descontínua em cada racional. Observe que os pontos de descontinuidade de uma função $f:ℝ\to ℝ$ formam um conjunto ${𝔉}_{\sigma }$ (veja álgebra de Borel) e, portanto, não há tal função contínua em cada racional e descontínua em cada irracional.