Medida de Lebesgue

Em matemática, a medida de Lebesgue é a generalização padrão do conceitos de comprimento na reta, área no plano e volume no espaço. A medida de Lebesgue está definida para uma ampla família de subconjuntos do ${ℝ}^n$. Esta família é na realidade uma sigma-álgebra e contém os conjuntos abertos e conjuntos fechados.

Nomenclatura e propriedades

A medida de Lebesgue em ${ℝ}^n$ é uma função $\mu :𝔏({ℝ}^n)\to {ℝ}^{+}$. A família $𝔏({ℝ}^n)$ é compostas por subconjuntos de ${ℝ}^n$ que são chamados de conjuntos mensuráveis à Lebesgue ou conjuntos Lebesgue mensuráveis. Possui as seguintes propriedades:

• Seja $I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_n,b_n],a_i\le b_i$, então $I\in 𝔏({ℝ}^n)$ e:

$\mu (I)=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\dots (b_n-a_n)$

• Em especial:

$\mu (\mathrm{\varnothing })=0$

• Se $E_j\in 𝔏({ℝ}^n)$ então $\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_j\in 𝔏({ℝ}^n)$ e, ainda:

$\mu \left(\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_j\right)\le \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_j)$, onde a igualdade ocorre se os conjuntos $E_j$ forem disjuntos dois a dois.

• Se $E_j\in 𝔏({ℝ}^n)$ então $\bigcap _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_j\in 𝔏({ℝ}^n)$.
• Se $A\subseteq B$ e $\mu (B)=0$ então $A$ é mensurável e tem medida zero.
• É invariante por translação, ou seja, se $A$ é mensurável e $A_{\lambda }$ é definido como $A_{\lambda }=\{x+\lambda :x\in A\}$ então $A_{\lambda }$ é mensurável e :

$\mu (A)=\mu (A_{\lambda })$

• Se $A$ é mensurável e $T:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ é uma transformação linear, então $TA:=\{Tx:x\in A\}$ é mensurável e:

$\mu (TA)=|T|\mu (A)$, onde $|T|$ é o determinante da transformação.

Ver também

• Conjunto de medida zero
• Medida