Medida (matemática)

imagem representando a medida

Em matemática, uma medida é uma função que atribui um valor aos subconjuntos de um conjunto S. Quando a medida é positiva e a medida de S é 1, diz-se que a medida é uma probabilidade.

Medida positiva (+)

Uma medida positiva definida numa σ-algebra X de subconjuntos de um conjunto S é uma função $\mu :X\to [0,\mathrm{\infty })$ tal que:

• $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$
• $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_i)$, para qualquer coleção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Os elementos, neste caso conjuntos, de X chamam-se conjuntos X-mensuráveis (ou apenas conjuntos mensuráveis).

São conseqüências diretas da definição de medida postiva:

• Não-negatividade:

$\mu (E)\ge 0,\mathrm{\forall }E\in X$

Prova:

• Monotonicidade

$A\subseteq B⟹\mu (A)\le \mu (B),\mathrm{\forall }A,B\in X$

Prova: Como $A\subseteq B$, vale que $B=A\cup (B\mathrm{\setminus }A)$, sendo esta união disjunta. Logo, da definição de medida, vale que $\mu (B)=\mu (A)+\mu (B\mathrm{\setminus }A)\ge \mu (A)$, pela não-negatividade de $\mu$.

Exemplos

• $\mu (E)=\{\begin{array}{cc}0,& E=\mathrm{\varnothing }\\ 1,& E=S\end{array}$

Neste caso, a sigma-Álgebra tem apenas dois elementos: o conjunto vazio e o conjunto universo.

• Medida de Dirac:

${\delta }_{x_0}(E)=\{\begin{array}{cc}1,& x_0\in E\\ 0,& c.c.\end{array}$

• As medidas de Borel e de Lebesgue em $ℝ$ verificam a propriedade $\lambda [a,b]=b-a$

Medida complexa

Uma medida complexa numa σ-algebra X sobre um conjunto S é uma função $\mu :X\to ℂ$ tal que:

• $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$
• $\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_i)$, para qualquer colecção enumerável de conjuntos de X, disjuntos dois a dois.

Em especial, a soma desta série é invariante quando a ordem da partição é trocada. Logo a definição de medida complexa exige que a série seja absolutamente convergente.

Exemplos

• Seja $f:ℝ\to ℂ$ uma função complexa Lebesgue integrável. Então

$\nu (E):=\underset{E}{\int }f(x)d\mu$ define uma medida complexa nos conjuntos Lebesgue mensuráveis de $ℝ.$

Propriedades

Algumas medidas possuem propriedades adicionais:

• Medida completa:

Se $Z$ tem medida zero, então todo subconjunto de Z é mensurável (e tem medida zero pela monotonicidade.)

• Medida invariante por translações:

$\mu (A+\lambda )=\mu (A),\mathrm{\forall }A\in X$, onde $A+\lambda =\{x+\lambda :x\in A\}$

(contanto que a soma esteja bem definida no espaço em questão.)

• Medida de Borel:

Os abertos e portanto todos os conjuntos borelianos são mensuráveis.

• Regularidade interior:

$\mu (A)=\underset{K\subseteq A}{\sup }\mu (K),\mathrm{\forall }A\in X$ e $K$ são compactos.

• Regularidade exterior:

$\mu (A)=\underset{A\subseteq V}{\inf }\mu (V),\mathrm{\forall }A\in X$ e $V$ são abertos.

• Medida finita: o espaço inteiro tem medida finita.

$\mu (S)<\mathrm{\infty }$

• Medida $\sigma -$finita: o espaço inteiro pode ser escrito como a união enumerável de conjuntos de medida finita.

$S=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n,\mu (E_n)<\mathrm{\infty }$

• Medida localmente finita: todo compacto é mensurável e tem medida finita

$\mu (K)<\mathrm{\infty }$, para todo compacto $K$