Integral de Lebesgue

A integral de uma função positiva pode ser interpretada como a área sob a curva de um gráfico.

A integral de Lebesgue é, na matemática, uma generalização da integral de Riemann. Originalmente definida para funções $f:{ℝ}^n\to ℝ$, a integral de Lebesgue apresenta diversas vantagens em relação à integral de Riemann sobretudo em relação a processos de limite. De fato, não existem versões dos teorema da convergência monótona, teorema da convergência dominada e do lema de Fatou usando a integral de Riemann. Além disso, a integral de Lebesgue é uma construção matemática generalizável para funções definidas num espaço de medida assumindo valores reais ou complexos, ou mesmo, em um espaço de Banach geral.

Construção

Existem diversas possíveis construções para integral de Lebesgue, seguiremos aqui um método baseado na exaustão por funções simples.

Considere, então, $(X,𝔐,\mu )$ um espaço de medida.

Funções simples

Seja $\varphi :E\to [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ uma função simples:

$\varphi (x)=\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{\mathrm{X}}_{E_k}(x)$

Diz-se que $\varphi (x)$ é Lebesgue integrável em $E$ se:

$\sum _{k=1}^n|{\alpha }_k|\mu (E_k)<\mathrm{\infty }$ ficando bem convencionado que $+\mathrm{\infty }\cdot 0=-\mathrm{\infty }\cdot 0=0\cdot +\mathrm{\infty }=0\cdot -\mathrm{\infty }=0$

neste caso, definimos a integral de Lesbesgue de $\varphi (x)$ como:

$\underset{E}{\int }\varphi (x)d\mu =\sum _{k=1}^n{\alpha }_k\mu (E_k)$

Funções positivas

Seja $f:E\to [0,+\mathrm{\infty }]$ uma função mensurável, define-se a integral de Lebesgue de $f(x)$ em $E$ como:

$\underset{E}{\int }f(x)d\mu =\underset{\varphi (x)\le f(x)}{\sup }\underset{E}{\int }\varphi (x)d\mu$, onde $\varphi (x)$ é uma função simples.

A função $f(x)$ é dita, então, Lebesgue integrável se sua integral é finita. Observações:

• Quando $f(x)$ é uma função simples, esta definição é consistente com a definição anterior.
• A integral de Lebesgue está definida para toda função mensurável não negativa. A integral sendo finita se e somente se a função é Lebesgue integrável.

Funções reais

Seja $f:E\to [-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }]$ uma função mensurável, definem-se as partes positivas e negativas, respectivamente como:

$f^{+}(x)=\{\begin{array}{cc}f(x),& f(x)\ge 0\\ 0,& f(x)\le 0\end{array}$

$f^{-}(x)=\{\begin{array}{cc}0,& f(x)\ge 0\\ -f(x),& f(x)\le 0\end{array}$

É fácil ver que se $f(x)$ é mensurável, então ambas $f^{+}$ e $f^{-}$ são mensuráveis não negativas e que $f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)$.

A função $f(x)$ é dita Lebesgue integrável em $E$ se ambas as integrais $\underset{E}{\int }{f}^{+}(x)dx$ e $\underset{E}{\int }{f}^{-}(x)dx$ forem finitas e sua integral é definida como:

$\underset{E}{\int }f(x)dx=\underset{E}{\int }{f}^{+}(x)dx-\underset{E}{\int }{f}^{-}(x)dx$

• Observe que $f(x)$ é integrável e mensuravel se e somente se $|f(x)|$ é integrável.

Propriedades

Se $f(x)$ e $g(x)$ são funções integráveis em um conjunto mensurável $E$, então:

• $\underset{E}{\int }[\alpha f(x)+\beta g(x)]d\mu =\alpha \underset{E}{\int }f(x)d\mu +\beta \underset{E}{\int }g(x)d\mu$
• $f(x)\le g(x)$ quase sempre, então $\underset{E}{\int }f(x)d\mu \le \underset{E}{\int }g(x)d\mu$
• $|\underset{E}{\int }f(x)d\mu |\le \underset{E}{\int }|f(x)|d\mu$
• $F\subseteq E$ mensurável, $f(x)$ é integrável em $F$ e, ainda:

$\underset{E}{\int }f(x)d\mu =\underset{F}{\int }f(x)d\mu +\underset{E\mathrm{\setminus }F}{\int }f(x)d\mu$

• Se $\{E_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ são subconjuntos mensuráveis e disjuntos dois a dois e $\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n=E$ então:

$\underset{E}{\int }f(x)d\mu =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{E_n}{\int }f(x)d\mu$

• $\nu (F):=\underset{F}{\int }f(x)d\mu$ define uma medida $\sigma$aditiva nos subconjuntos mensuráveis de $E$.

Comparação com a integral de Riemann

• A integral de Riemann no sentido próprio só está definida em intervalos finitos ou na união finita destes. Se uma função é integrável a Riemann em um intervalo $[a,b]$ então a integral de Lebesgue também está definida e possui o mesmo valor.

• Enquanto toda função integrável a Riemann é limitada, existem funções integráveis a Lebesgue que não são limitadas nem mesmo essencialmente limitadas em nenhum aberto do domínio.

• O domínio de integração da integral de Lebesgue pode ser qualquer conjunto mensurável, inclusive não limitado.

Ver também

• Representação bolo de camadas
• Espaço Lp