Função simples

Predefinição:Sem fontes Em matemática, sobretudo na teoria da medida, uma função simples é uma função mensurável que assume um conjunto finito de valores.

As funções simples são usadas como funções auxiliares na construção da integral de Lebesgue e na teoria de integração mais geral.

Definição

Seja $(X,𝔐,\mu )$ um espaço de medida, uma função $f:X\to ℝ$ é dita simples se puder ser escrita na forma:

$f(x)=\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{\mathrm{X}}_{E_k}(x)$

onde $E_k$ são conjuntos mensuráveis e ${\mathrm{X}}_{E_k}(x)$ é a função indicadora de $E_k$ em X.

Propriedades

• A soma, multiplicação por uma constante, bem como o produto de funções simples é novamente uma função simples.
• Se $f(x)\ge 0$ é uma função mensurável, então existe uma seqüência não-decrescente de funções simples $f_n(x)$ convergindo quase-sempre para $f(x)$