Espaço Lp

Predefinição:Sem fontes Em matemática, sobretudo na teoria da medida e na análise funcional, os espaços $L^p$ são um dos mais importantes espaços funcionais.

Definição

Seja $f:D\to ℂ$ uma função mensurável à Lebesgue definida em domínio $D$ mensurável.

• Se $p\in [1,\mathrm{\infty })$, $f$ é dita p-integrável e pertence ao espaço L^p se sua norma L^p for finita:

$\Vert f{\Vert }_{L^p(D)}={(\underset{D}{\int }|f(x){|}^{p}dx)}^{1/p}$.

• Se $p=\mathrm{\infty }$, $f$ é dita essencialmente limitada e pertence ao espaço $L^{\mathrm{\infty }}$ se existir uma constante $C$ real tal que:

$\mu \{x\in D:|f|>C\}=0$, ou seja, $|f|\le C$ exceto em conjunto de medida zero.

A norma $\Vert f{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(D)}$ é a menor das contantes com a propriedade acima, ou seja:

$\Vert f{\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}(D)}=\inf \{C:\mu \{|f(x)|>C\}=0\}$.

Espaços de Banach

Se as funções em um espaço de Banach são identificadas apenas quase sempre, então as normas estão bem definidas através da desigualdade de Minkowski.

Espaço L²

O espaço $L^2(D)$ é um espaço de Hilbert dotado do seguinte produto interno:

$⟨f,g⟩=\underset{D}{\int }\overline{f(x)}g(x)dx$.

As funções deste espaço são chamadas de quadrado integráveis e assumem um papel fundamental na teoria das séries de Fourier.

Ver também

• Espaço lp
• Espaço de Banach
• Desigualdade de Hölder
• Desigualdade de Minkowski