Desigualdade de Minkowski

Predefinição:Sem notas Em teoria da medida e integraçao, a Desigualdade de Minkowski permite definir uma estrutura de espaço vetorial normado em L^p .

Seja $S$ um espaço normado, $1\le p\le \mathrm{\infty }$ e $f$ e $g$ elementos de $L^p(S)$. Então $f+g$ é um elemento de $L^p(S)$, e temos a Desigualdade de Minkowski:

${\Vert f+g\Vert }_p\le {\Vert f\Vert }_p+{\Vert g\Vert }_p.$

A igualdade irá acontecer somente no caso de $f$ e $g$ serem linearmente dependentes.

A Desigualdade de Minkowski é o análogo de uma desigualdade triangular em $L^p(S)$.

Assim como a Desigualdade de Hölder, a desigualdade de Minkowski pode ser estabelecida para sequências e vetores usando a Norma ${\ell }^p$:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

onde $x_1,\cdots ,x_n,y_1,\cdots ,y_n$ são números reais (ou números complexos) e $n$ é a cardinalidade de $S$.

Demonstração

Dado $p>1$, tome $q$ tal que $1/p+1/q=1$.

Por definição temos que

${\Vert f+g\Vert }_p^p=\int |f+g{|}^{p}d\mu =\int |f+g||f+g{|}^{p-1}d\mu$

Pela desigualdade triangular podemos afirmar que

${\Vert f+g\Vert }_p^p\le \int \left|f\right|{|f+g|}^{p-1}d\mu +\int \left|g\right|{|f+g|}^{p-1}d\mu$

Pela Desigualdade de Hölder temos que

$\int \left|f\right|{|f+g|}^{p-1}d\mu \le {\Vert f\Vert }_p{\Vert {(f+g)}^{p-1}\Vert }_q$

Mas, por definição da norma,

${\Vert {(f+g)}^{p-1}\Vert }_q={(\int {\left|{(f+g)}^{p-1}\right|}^q)}^{\frac{1}{q}}={(\int {\left|(f+g)\right|}^p)}^{\frac{p-1}{p}}={\Vert f+g\Vert }_p^{p-1}$

uma vez que $(p-1)q=p$ e $1/q=1-1/p$.

Daí concluímos que

${\Vert f+g\Vert }_p^p\le ({\Vert f\Vert }_p+{\Vert g\Vert }_p){\Vert f+g\Vert }_p^{p-1}$

Obtemos, então, a desigualdade de Minkowski dividindo ambos os lados por ${\Vert f+g\Vert }_p^{p-1}$.

${\Vert f+g\Vert }_p^{p-1}$. .

Referências

• G.H. Hardy, J.E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities , Cambridge Univ. Press (1934) ISBN 0-521-35880-9
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)