Lema de Fatou

O matemático e astrônomo francês Pierre Fatou (1878-1929).

Em matemática o lema de Fatou é um importante resultado da teoria da medida. Normalmente é demonstrado partindo do teorema da convergência monótona e é aplicado para demonstrar o teorema da convergência dominada.

Enunciado

Seja $f_n:E\to ℝ$ uma seqüência de funções mensuráveis não negativas, então:

$\int \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\int f_n$

Demonstração

Defina $g_n=\underset{i\ge n}{\inf }{f}_i(x)$ e $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_n=\underset{i}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_i(x)$.

$g_n$ formam uma seqüência não-decrescente de funções não-negativas e, portanto, pelo teorema da convergência monótona, temos:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{E}{\int }{g}_n(x)dx=\underset{E}{\int }f(x)dx$

Da definição de $g_n$, temos ainda:

$\underset{E}{\int }{g}_n(x)dx\le \underset{E}{\int }{f}_i(x)dx,\mathrm{\forall }n\le i$

Tomando o ínfimo em $i$, vale:

$\underset{E}{\int }{g}_n(x)dx\le \underset{i\ge n}{\inf }\underset{E}{\int }{f}_i(x)dx,\mathrm{\forall }n$

Passando ao limite em $n$, segue:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{E}{\int }{g}_n(x)dx\le \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{E}{\int }{f}_i(x)dx$

Como$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{E}{\int }{g}_n(x)dx=\underset{E}{\int }f(x)dx=\underset{E}{\int }\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_i(x)dx$, temos o resultado:

$\underset{E}{\int }\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{f}_i(x)dx\le \underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\underset{E}{\int }{f}_i(x)dx.$

Corolário

Seja $f_n:E\to ℝ$ uma seqüência de funções mensuráveis não negativas convergindo quase-sempre para uma função $f$, tal que:

$\underset{E}{\int }{f}_n\le K$

então:

$\underset{E}{\int }f\le K.$

Ver também

• Teorema da convergência monótona
• Teorema da convergência dominada
• Convergência quase-sempre