Teorema da convergência dominada

Henri Lebesgue

Em teoria da medida, o teorema da convergência dominada de Lebesgue oferece condições suficientes sob as quais a convergência em quase qualquer lugar de uma sequência de funções implica convergência na norma L¹. Sua potência e sua utilidade são duas das primeiras vantagens teóricas da integração de Lebesgue sobre a integração de Riemann.

É amplamente usada em teoria das probabilidades, já que dá uma condição suficiente para a convergência de valores esperados de variáveis aleatórias.

Enunciado

Considere

$\{f_n\}$

uma sequência de funções mensuráveis de valores reais em um espaço de medida

$(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$

. Suponha que a sequência converge pontualmente a uma função

$f$

e é dominada por alguma função integrável

$g$

no sentido em que:

$|f_n(x)|\le g(x)$

para todos os números

$n$

no conjunto de índices da sequência e todos os pontos

$x\in S$

. Então,

$f$

é integrável e

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }|f_n-f|d\mu =0,$

o que também implica

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{S}{\int }fd\mu .$

A afirmação "

$g$

é integrável" é entendida no sentido de Lebesgue, isto é,

$\underset{S}{\int }|g|d\mu <\mathrm{\infty }.$

A convergência da sequência e a dominação por

$g$

podem ser relaxadas a ponto de manter apenas

$\mu$

-quase em todo lugar, desde que o espaço de medida

$(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$

seja completo ou

$f$

seja escolhida como uma função mensurável que concorda com

$\mu$

-quase em todo lugar com um limite pontual existente em

$\mu$

-quase em todo lugar. Estas precauções são necessárias, porque, de outra forma, pode existir um subconjunto não-mensurável de um conjunto

$\mu$

-nulo

$N\in \mathrm{\Sigma }$

, assim,

$f$

pode não ser mensurável.

Se $\mu (S)<\mathrm{\infty }$, a condição de que haja uma função integrável dominante pode ser relaxada ao ponto da integrabilidade uniforme da sequência $\{f_n\}$.

Prova

O teorema da convergência dominada de Lebesgue é um caso especial do teorema de Fatou–Lebesgue. Abaixo, entretanto, está uma prova direta que usa o lema de Fatou como ferramenta essencial.

Já que

$f$

é o limite pontual da sequência

$(f_n)$

das funções mensuráveis que são dominadas por

$g$

, é também mensurável e dominada por

$g$

, logo, é integrável. Além disto,

$|f-f_n|\le |f|+|f_n|\le 2g$

para todo

$n$

e

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|f-f_n|=0.$

A segunda afirmação é trivialmente verdadeira (pela própria definição de

$f$

. Usando a linearidade e monotonicidade da integral de Lebesgue,

$|\underset{S}{\int }fd\mu -\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu |=\left|\underset{S}{\int }(f-f_n)d\mu \right|\le \underset{S}{\int }|f-f_n|d\mu .$

Pelo lema de Fatou reverso (é aqui que usamos o fato de que

$|f-f_n|$

é limitado acima por uma função integrável),

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\underset{S}{\int }|f-f_n|d\mu \le \underset{S}{\int }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|f-f_n|d\mu =0,$

o que implica que o limite existe e se esvai, isto é,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }|f-f_n|d\mu =0.$

Finalmente, já que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\underset{S}{\int }fd\mu -\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu |\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }|f-f_n|d\mu =0.$

temos

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{S}{\int }f\mu .$

Se os pressupostos se mantêm apenas

$\mu$

-quase em todo lugar, então, existe um conjunto

$\mu$

-nulo

$N\in \mathrm{\Sigma }$

, tal que as funções

$f_n{1}_n$

satisfazem os pressupostos em todo lugar em

$S$

. Então,

$f(x)$

é o limite pontual de

$f_n(x)$

para todo

$x\in S\mathrm{\setminus }N$

e

$f(x)=0$

para

$x\in N$

, logo,

$f$

é mensurável. Os valores das integrais não são influenciados por este conjunto

$\mu$

-nulo

$N$

.

O teorema da convergência dominada se mantém mesmo se $f_n$ convergir a $f$ em medida (medida finita) e a função dominante for não negativa em quase todo lugar.

Discussão dos pressupostos

O pressuposto de que a sequência é dominada por alguma integrável

$g$

não pode ser ignorado. Isto pode ser visto como se segue: defina

$f_n(x)=n$

para

$x$

no intervalo

$(0,1/n]$

e

$f_n(x)=0$

em outros casos. Qualquer

$g$

que domina a sequência deve também dominar o supremo pontual

$h=\underset{n}{\sup }{f}_n$

. Observe que:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}h(x)dx\ge \underset{\frac{1}{m}}{\overset{1}{\int }}h(x)dx=\sum _{n=1}^{m-1}\underset{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}{\int }h(x)dx\ge \sum _{n=1}^{m-1}\underset{(\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}]}{\int }ndx=\sum _{n=1}^{m-1}\frac{1}{n+1}\to \mathrm{\infty }\text{conforme }m\to \mathrm{\infty },$

pela divergência da série harmônica. Assim, a monotonicidade da integral de Lebesgue nos diz que não existe nenhuma função integrável que domine a sequência em

$[0,1]$

. Um cálculo direto mostra que a integração e o limite pontual não comutam para esta sequência:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)dx=0\ne 1=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_n(x)dx,$

porque o limite pontual da sequência é a função zero. Note que a sequência

$\{f_n\}$

não é sequer uniformemente integrável, logo, o teorema da convergência de Vitali também não é aplicável.

Teorema da convergência limitada

Um corolário do teorema da convergência dominada é o teorema da convergência limitada, que afirma que, se

$\{f_n\}$

for uma sequência de funções mensuráveis de valores reais uniformemente limitadas que converge pontualmente em um espaço de medida limitado

$(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$

(isto é, em que

$\mu (S)$

é finito) a uma função

$f$

, então, o limite

$f$

é uma função integrável e

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{S}{\int }{f}_{n}d\mu =\underset{S}{\int }fd\mu .$

A convergência pontual e a limitação uniforme da sequência podem ser relaxadas a ponto de manter apenas

$\mu$

-quase em todo lugar, desde que o espaço de medida

$(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$

seja completo ou

$f$

seja escolhida como uma função mensurável que concorda com

$\mu$

-quase em todo lugar com o limite pontual existente

$\mu$

-quase em todo lugar.

Prova

Já que a sequência é uniformemente limitada, há um número real $M$ tal que $|f_n(x)|\le M$ para todo $x\in S$ e para todo $n$. Defina $g(x)=M$ para todo $x\in S$. Então, a sequência é dominada por $g$. Além disso, $g$ é integrável, já que é uma função constante sobre um conjunto de medida finita. Por isso, o resultado segue a partir do teorema da convergência dominada.

Se os pressupostos se mantêm apenas $\mu$-quase em todo lugar, então, existe um conjunto $\mu$-nulo $N\in \mathrm{\Sigma }$ tal que as funções $f_n{1}_n$ satisfazem os pressupostos em todo lugar em $S$.

Convergência dominada em espaços L^p (corolário)

Considere $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ um espaço de medida, $1\le p<\mathrm{\infty }$ um número real e $\{f_n\}$ uma sequência de funções $𝒜$-mensuráveis $f_n:\mathrm{\Omega }\to ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$.

Assuma que a sequência $\{f_n\}$ converge $\mu$-quase em todo lugar a uma função $f$ $𝒜$-mensurável e é dominada por um $g\in L^p$, isto é, para todo número natural $n$, temos $|f_n|\le g$ $\mu$-quase em todo lugar.

Então, todas as

$f_n$

assim como

$f$

estão em

$L^p$

e a sequência

$\{f_n\}$

converge a

$f$

no sentido de

$L^p$

, isto é:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f_n-f{\Vert }_p=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|f_n-f{|}^{p}d\mu )}^{\frac{1}{p}}=0.$

Extensões

O teorema da convergência dominada se aplica também a funções mensuráveis com valores em um espaço de Banach com a função dominante ainda sendo não negativa e integrável como acima. O pressuposto de convergência quase em todo lugar pode ser enfraquecido a ponto de exigir apenas convergência em medida.

Ver também

• Convergência de variáveis aleatórias
• Teorema da convergência monótona