Convergência pontual

Em matemática, em especial na análise real e na análise funcional, a convergência pontual é um dos muitos conceitos que existem para convergência de uma seqüência de funções.

Algumas vezes a convergência pontual é chamada de convergência ponto a ponto.

Um conceito mais forte que convergência pontual é convergência uniforme. Um conceito mais fraco é convergência quase-sempre.

Definição para seqüências de funções reais

Seja $D$ um conjunto qualquer e $f_n:D\to ℝ$ uma seqüência de funções que compartilham do mesmo domínio $D$.

Diz-se que $f_n(x)$ converge pontualmente para uma função $f:D\to ℝ$ se:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x),$ para cada $x\in D$

Exemplos

• $f_n(x)=\frac{x}{n}$ converge pontualmente para $f(x)=0$
• $f_n(x)=n\sin \left(\frac{x}{n}\right)$ converge pontualmente para $f(x)=x$
• $f_n(x)=\frac{|x{|}^n}{1+|x{|}^n}$ que converge pontualmente para $f(x)=\{\begin{array}{cc}0,& |x|<1\\ \frac{1}{2},& |x|=1\\ 1,& |x|>1\end{array}$

Definição geral

Seja $f_n:S\to X$ uma seqüência de funções com contra-domínio em um espaço topológico X com uma topologia $\tau$. Então a seqüência converge pontualmente para uma função $f:S\to X$ quando, para todo x, a seqüência $f_n(x)$ converge para f(x). Isso equivale a escrever:

$\mathrm{\forall }x\in S\mathrm{\forall }A\in \tau ,(f(x)\in A\to \mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},(n>N\to f_n(x)\in A))$.

Esta definição é equivalente a dizer que, na topologia produto de $X^S$, a seqüência $f_n$ converge para f.