Valor esperado

Predefinição:Formatar referências Predefinição:Mais notas Em estatística, especificamente em teoria das probabilidades, o valor esperado, também chamado esperança matemática ou expectância, de uma variável aleatória é a soma do produto de cada probabilidade de saída da experiência pelo seu respectivo valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.

Definição matemática

Esperança de uma variável aleatória

Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis $x_1,x_2,x_3,\dots$ e com as suas probabilidades representadas pela função $p(x_i)$, o valor esperado calcula-se pela série:

$E[X]=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_{i}p(x_i)$

desde que a série seja convergente.

Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade $f(x)$:

$E[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$

Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:

$E[g(X)]=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}g(x_i)p(x_i)$

e

$E[g(X)]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)f(x)dx$

Deve-se notar que, no caso geral, $𝐄$ não comuta com a função g, ou seja:

$E[g(X)]\ne g(E[X])$

Esperança de variáveis aleatórias de mais de uma dimensão

Para o caso mais geral de $𝐗$ ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com $𝐠$ assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:

$E[𝐠(𝐗)]=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}p({𝐱}_{𝐢})𝐠({𝐱}_{𝐢})$

e

$E[𝐠(𝐗)]=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }𝐠dP$, em que a integral de Lebesgue é usada.

Exemplos

• a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.
• a variável aleatória X dada por $p(X=(-10{)}^n)=(1/2{)}^n$ para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.
• Seja um vetor aleatório Y de dimensão nX1, cujos componentes são as variáveis aleatórias $Y_1,...,Y_n$. A esperança de Y, $E[Y]$, é um vetor nX1 cujos componentes são as esperanças das variáveis aleatórias que compunham Y. Ou seja,

$Y=\left[\begin{array}{c}{Y}_1\\ ⋮\\ Y_n\end{array}\right]\to E[Y]=\left[\begin{array}{c}E[Y_1]\\ ⋮\\ E[Y_n]\end{array}\right]$.

Propriedades do valor esperado

Nas seguintes propriedades, $X,Y$ são variáveis aleatórias, $a,b,c$ são constantes.

$E(a)=a$

$E(a+X)=a+E(X)$

$E(bX)=bE(X)$

$E(a+bX)=a+bE(X)$

Sejam: x o vetor aleatório N X 1 com valor esperado E(X) e variância ${\sigma }^2\cdot I$ ; A uma matriz quadrada genérica de dimensão N x X; tr(A) o traço da matriz A. Então, a esperança da variável ao quadrado será:

$E(X^2)=E(x^{T}Ax)=Var(X)\cdot tr(A)+[E(X){]}^T\cdot A\cdot E(X)$

E para duas variáveis aleatórias:

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

$E(a+bX+cY)=a+bE(X)+cE(Y)$

Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias.

Operador esperança

O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:

$E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$

Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança.

Esperança do produto

No caso geral, temos que

$E[XY]\ne E[X]E[Y]$

No caso particular de X e Y serem variáveis aleatórias independentes, temos que:

$E[XY]=E[X]E[Y]$

Esperança condicional

Seja uma variável aleatória $X:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ e uma sigma-álgebra $\tau$ no espaço amostral $\mathrm{\Omega }$. A esperança condicional de X, dado $\tau$, é a variável aleatória $Z:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ tal que

$Z=E[X|\tau ]$ $=\sum _{i=1}^n{x}_{i}P[X=x_i|\tau ]$.

Esta variável Z tem as seguintes propriedades:

• Z não contém mais informação que a contida em $\tau :\sigma \left(Z\right)\subset \tau$. Ou seja, a variável aleatória (que é sempre uma função) $\varpi \to Z\left(\varpi \right)$ é mensurável com relação a $\tau$ (=constante em qualquer subconjunto da partição correspondente a $\tau$)
• Z satisfaz a relação $E(X(\varpi ).I_A)$ $=E[Z\left(\varpi \right).I_A]\mathrm{\forall }A\in \tau$, onde $I_A$ é uma variável indicadora, que vale 1 se $\varpi \in A$ e 0 se $\varpi \in ̸A$.