Série convergente

Em matemática, uma série é o somatório dos termos de uma sequência de números.

Dada uma sequência infinita

$(a_1,a_2,a_3,\dots )$

, a

$n$

-ésima soma parcial

$S_n$

é a soma dos primeiros termos da sequência, isto é,

$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k.$

Uma série é convergente se a sequência de suas somas parciais

$\{S_1,S_2,S_3,\dots \}$

tende a um limite. Isto quer dizer que as somas parciais se tornam cada vez mais próximas de um dado número quando o número de seus termos aumenta. Em uma linguagem mais formal, uma série converge se existe um limite

$\ell$

tal que para qualquer número positivo arbitrariamente pequeno

$\epsilon >0$

, existe um inteiro

$N$

tal que para todo

$n\ge N$

,

$|S_n-\ell |\le \epsilon .$

Qualquer série que não é convergente é chamada de divergente.

Exemplos de séries convergentes e divergentes

• Os inversos dos inteiros positivos produzem uma série divergente (série harmônica):Predefinição:Quote
• Alternar os sinais dos inversos dos inteiros positivos produz uma série convergente:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots =\ln 2.$

• Alternar os sinais dos inversos dos inteiros ímpares produz uma série convergente (a Fórmula de Leibniz para $\pi$):

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots =\frac{\pi }{4}.$

• Os inversos dos números primos produzem uma série divergente (assim sendo, o conjunto dos primos é "grande"):Predefinição:Quote
• Os inversos dos números triangulares produzem uma série convergente:

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}+\frac{1}{21}+\cdots =2.$

• Os inversos dos fatoriais produzem uma série convergente (ver número de Euler $e$):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\cdots =e.$

• Os inversos dos números quadrados produzem uma série convergente (o Problema de Basileia):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}.$

• Os inversos das potências de 2 produzem uma série convergente (assim sendo, o conjunto das potências de 2 é "pequeno"):

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\cdots =2.$

• Os inversos das potências de qualquer $n$ produzem uma série convergente:

  $\frac{1}{1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^5}+\cdots =\frac{n}{n-1}.$

• Alternar os sinais dos inversos das potências de 2 também produz uma série convergente:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}+\cdots =\frac{2}{3}.$

• Alternar os sinais dos inversos das potências de qualquer $n$ produz uma série convergente:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}-\frac{1}{n^5}+\cdots =\frac{n}{n+1}.$

• Os inversos dos números de Fibonacci produzem uma série convergente, sendo $\psi$ a constante dos inversos de Fibonacci:

  $\frac{1}{1}-\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+\cdots =\psi .$

Testes de convergência

Se for possível provar que a série azul $\mathrm{\Sigma }{b}_n$ converge, então a série menor $\mathrm{\Sigma }{a}_n$ deve convergir. Por contraposição, se for possível provar que a série vermelha $\mathrm{\Sigma }{a}_n$ diverge, então $\mathrm{\Sigma }{b}_n$ também deve divergir.

Existem alguns métodos para determinar se uma série converge ou diverge.

• Teste da comparação: Os termos da sequência $\left\{a_n\right\}$ são comparados àqueles de outra sequência $\left\{b_n\right\}$. Se,

para todo $n$, $0\le a_n\le b_n$ e $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converge, então o mesmo acontece com $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$ Contudo, se, para todo $n$, $0\le b_n\le a_n$ e $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ diverge, então o mesmo acontece com $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$

• Teste da razão: Assuma que para todo $n$, $a_n>0$. Suponha que existe $r$ tal que:

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=r.$

Se $r<1$, então a série converge. Se $r>1$, então a série diverge. Se $r=1$, o teste da razão é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.

• Teste da raiz ou teste da raiz $n$-ésima: Suponha que os termos da sequência em questão são números não negativos. Defina $r$ como se segue:

  $r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|},$

em que $\mathrm{lim\; sup}$ denota o limite superior (possivelmente $\mathrm{\infty }$; se o limite existir, é o mesmo valor).

Se $r<1$, então a série converge. Se $r>1$, então a série diverge. Se $r=1$, o teste da raiz é inconclusivo e a série pode convergir ou divergir.

O teste da razão e o teste da raiz são ambos baseados na comparação com uma série geométrica e, como tal, funcionam em situações similares. De fato, se o teste da razão funcionar (significando que o limite existe e não é igual a 1), então o mesmo acontece com o teste da raiz. O inverso, porém, não é verdadeiro. Por isso, o teste da raiz é de aplicação mais geral, mas, em termos práticos, é frequentemente difícil computar o limite para tipos de séries comumente encontrados.

• Teste da P-Séries : Uma importante classe de séries numéricas é quando são constituída da série da seguinte forma $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$
  este tipo de série é conhecido com p-séries e que são bastante utilizado com série de prova nos critérios de comparação. Observe que o termo geral $a_n=1/n^p$ tem limite 1, quando $p=0$, e limite é infinito quando $p<0$ e em ambos os casos a série é divergente. Se $p=1$ temos então a série harmônica, que neste caso também é divergente. Nos demais casos a convergência das p-séries será analisado pelo critério de Integral. Quando a função $f(x)=1/x^p$ e $p>0$ e $x$ é maior ou igual a 1, temos então duas condições:

$\text{caso 1}:$ Se $0<p<1$, Predefinição:Quote $\text{caso 2}:$ Se $p>1$, Predefinição:Quote

A integral imprópria quando $p>1$ é convergente, consequentemente é o único caso que p-série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$ é também converge.

Exemplos :

Convergentes $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{5/2}}$ e $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

Divergentes $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ e $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{2/3}}$

• Teste da integral: A série pode ser comparada com uma integral para estabelecer convergência ou divergência. Considere $f(n)=a_n$ uma função positiva e monotonicamente decrescente. Se

  $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty },$

então a série converge. No entanto, se a integral diverge, o mesmo acontece com a série.

• Teste da comparação do limite: Se $\{a_n\},\{b_n\}>0$, o limite $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ existir e for diferente de zero, então $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge se e somente se $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ convergir.
• Teste da série alternada: Também conhecido como critério de Leibniz, o teste da série alternada estabelece que para uma série alternada da forma $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(-1{)}^n$, se $\{a_n\}$ for monotonicamente decrescente e tiver um limite zero no infinito, então a série converge.
• Teste da condensação de Cauchy: Se $\{a_n\}$ for uma sequência monotonicamente decrescente positiva, então $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge se e somente se $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^k{a}_{2^k}$ convergir.

Outros exemplos incluem o teste de Dirichlet, o teste de Abel e o teste de Raabe.

Convergência condicional e absoluta

Ilustração da convergência condicional da série de potência de $\log (z+1)$ em torno de 0 avaliado em $z=\exp ((\pi -1/3)i)$. O comprimento da linha é infinito.

Para qualquer sequência

$\{a_1,a_2,a_3,\dots \}$

,

$a_n\le |a_n|$

para todo

$n$

. Por isso,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|.$

Isto significa que, se

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$

convergir, então

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

também converge (mas não vice-versa).

Se a série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ convergir, então, a série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ é absolutamente convergente. Um sequência absolutamente convergente é uma sequência na qual a linha criada ao juntar todos os incrementos à soma parcial é finitamente longa. A série das potências da função exponencial é absolutamente convergente em todo lugar.

Se a série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergir, mas a série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ divergir, então a série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ é condicionalmente convergente. O caminho formado ao conectar as somas parciais de uma série condicionalmente convergente é infinitamente longo. A série das potências do logaritmo é condicionalmente convergente.

O teorema das séries de Riemann afirma que, se uma série convergir condicionalmente, é possível rearranjar os termos da série de tal maneira que a série converge a qualquer valor ou até mesmo diverge.

Convergência uniforme

Considere

$\{f_1,f_2,f_3,\dots \}$

uma sequência de funções. Diz-se que a série

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n$

converge uniformemente a

$f$

se a sequência

$\{s_n\}$

de somas parciais definida por:

$s_n(x)=\sum _{k=1}^n{f}_k(x)$

convergir uniformemente a

$f$

.

Há um análogo do teste de comparação para séries infinitas de funções chamado teste M de Weierstrass.

Critério de convergência de Cauchy

O critério de convergência de Cauchy afirma que uma série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge se e apenas se a sequência de somas parciais for uma sequência de Cauchy.

Isto significa que, para todo

$\epsilon >0$

, há um número inteiro positivo

$N$

tal que, para

$n\ge m\ge N$

, temos:

$\left|\sum _{k=m}^n{a}_k\right|<\epsilon ,$

que é equivalente a:

$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{n\to \mathrm{\infty }}{m\to \mathrm{\infty }}}{\lim }\sum _{k=n}^{n+m}{a}_k=0.$

Ver também

• Limite de uma sequência
• Série divergente