Teste da razão

Predefinição:Sem fontes Em Matemática, o teste da razão ou critério d'Alembert é um teste para saber a convergência ou não de uma série.

Seja $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ uma série de termos positivos.

Fazendo-se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L$

Se

• $L<1$, a série é absolutamente convergente (portanto convergente);
• $L>1$ ou $L=\mathrm{\infty }$ ou $L=1^{+}$, a série é divergente;
• $L=1^{-}$, o teste é inconclusivo.

Exemplo

Seja: $a_n=\frac{n+1}{n!}$

Classificar $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

a) $a_n=\frac{n+1}{n!}>0$

b) $\frac{n+1}{n!}$ tende para zero quando $n$ tende para infinito, pois $n!$ cresce muito mais rapidamente que $n$.

c) Aplicando o critério de d'Alembert:

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n+2)}{(n+1{)}^2}=$ $=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(n+1)+1}{(n+1{)}^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1{)}^2})=0$

e como $L<1$, a série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge.