Teste da série alternada

Predefinição:Sem fontes Em matemática, o teste da série alternada ou série alternante ou, ainda, teste de Leibniz ou critério de Leibniz, proposto por Gottfried Leibniz é um método para determinar a convergência e estimar o erro de truncamento de séries numéricas da seguinte forma:

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n$, onde $a_n\ge 0$

O teste diz que a série é convergente se:

• $|a_{n+1}|\le |a_n|$ (os termos da sucessão $a_n$ é monotonamente decrescente)
• $a_n\to 0,n\to \mathrm{\infty }$ (O limite do termo geral da sucessão $a_n$ for 0).

E ainda o erro assumido ao truncar a série não supera o último termo considerado.

Demonstração

Defina as somas parciais $S_N$ da seguinte forma:

$S_N=\sum _{n=1}^N(-1{)}^n{a}_n$

Agora considere as somas parciais de ordem par e ímpar:

$S_{2N}=\sum _{n=1}^{2N}(-1{)}^n{a}_n=(a_2-a_1)+(a_4-a_3)+\dots +(a_{2N}-a_{2N-1})$

$S_{2N+1}=\sum _{n=1}^{2N+1}(-1{)}^n{a}_n=-a_1+(a_2-a_3)+(a_4-a_5)+\dots +(a_{2N}-a_{2N+1})$

Observe que cada termo entre parênteses é menor ou igual a zero em $S_{2N}$ e maior ou igual a zero em $S_{2N+1}$, assim o primeiro é não-crescente e o segundo é não-decrescente.

Ainda temos:

$S_{2N+1}-S_{2N}=(-1{)}^{2N+1}{a}_{2N+1}=-a_{2N+1}\le 0$

Portanto $S_{2N+1}\le S_{2N}$ Da monotonicidade podemos acrescentar:

$S_{2k+1}\le S_{2N+1}\le S_{2N}\le S_{2k},k<N$

Agora considere o limite $N\to \mathrm{\infty }$:

• A seqüência de ordem ímpar é não-decrescente e limitada superiormente, portanto converge para um limite $L_0$.
• A seqüência de ordem par é não-crescente e limitada inferiormente, portanto converge para um limite $L_1$.

Assim, a passagem ao limite está justificada e vale:

$S_{2k+1}\le L_1\le L_0\le S_{2k},$

Para provar que a série converge, reste mostrar que $L_0=L_1$, para tal faça:

$|L_0-L_1|=L_0-L_1\le S_{2k}-S_{2k+1}=a_{2k+1}\to 0,k\to \mathrm{\infty }$

Denotando este limite por $L=L_0=L_1$, temos:

$S_{2k+1}\le L\le S_{2k},$ o que é equivalente a:

$\{\begin{array}{ccccc}{S}_{2k+1}-S_{2k}& \le & L-S_{2k}& \le & 0\\ 0& \le & L-S_{2k+1}& \le & S_{2k}-S_{2k+1}\end{array}$,

De onde se pode concluir a estimativa:

$|S_n-L|\le a_n,\mathrm{\forall }n>0$

Exemplo: Teste a convergência da série $\sum _{n=1}^N(-1{)}^{n}sen\left(\frac{1}{n}\right)$

Pelo critério de Leibniz, a série tem que satisfazer as duas condições para convergir.

$|a_{n+1}|\le |a_n|$, para todo n>N e $a_n\to 0,n\to \mathrm{\infty }$, O limite do termo geral da sucessão $a_n$ for 0.

Assim,

$\sum _{n=1}^N(-1{)}^{n}sen\left(\frac{1}{n}\right)=\lim (-1{)}^{n}sen\left(\frac{1}{n}\right)$

$\sum _{n=1}^N(-1{)}^{n}sen\left(\frac{1}{n}\right)=sen\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{1}{n}\right)$

$\sum _{n=1}^N(-1{)}^{n}sen\left(\frac{1}{n}\right)=sen0=0$

Logo $\lim (-1{)}^{n}sen\left(\frac{1}{n}\right)=0$.

Para a condição $|a_{n+1}|\le |a_n|$, resolve-se por comparação:

$n<n+1$

$\left(\frac{1}{n}\right)>\left(\frac{1}{n+1}\right)$

$sen\left(\frac{1}{n}\right)>sen\left(\frac{1}{n+1}\right)$

$a_n>a_{n+1}$,portanto a série é decrescente.

E desta forma $\sum _{n=1}^N(-1{)}^{n}sen\left(\frac{1}{n}\right)$converge.

Convergência condicional e absoluta

Observe que este teste não assegura convergência absoluta, o que pode ser demonstrado pela série harmônica alternada:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}$

que converge por esse teste, mas:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1^n}{n}=\mathrm{\infty }$

O teste da serie alternada, consiste em um caso particular do criterio de Dirichlet onde bk = (-1)^n

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