Teste da comparação

Predefinição:Sem-fontes O teste da comparação ou 1º critério de comparação, estabelece um método para aferir a convergência de séries positivas, ou para a convergência absoluta.

Sejam as séries de termos não negativos:

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$

Então se $0\le a_n\le b_n$, para todo o $n\ge p$ (i.e: a partir de uma dada ordem), e se a segunda série converge, então a primeira também converge (e tem soma inferior). Ou ainda, se a primeira diverge, então a segunda também diverge.

Podemos também estabelecer que se $|a_n|\le b_n$, então a primeira série converge contanto que a segunda também convirja.

2º critério da comparação

Considermos as séries acima descritas e ainda o seguinte limite:

$l=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}:b_n\ne 0,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

• se $l\in ]0,\mathrm{\infty }[$ as séries $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ e $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ têm a mesma natureza.
• se $l=0$

(a) se $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converge, então $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge

• se $l=+\mathrm{\infty }$

(a) se $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge, então $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ converge

Demonstração

Observe cuidadosamente que a segunda afirmação implica a primeira. Demonstremos a primeira:

Suponha que $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ seja convergente. Ou seja, as somas parciais formam uma seqüência convergente:

$S_N^b:=\sum _{n=1}^N{b}_n$ é uma sequência convergente e portanto de Cauchy.

Denote:

$S_N^a:=\sum _{n=1}^N{a}_n$

Queremos mostrar que $S_N^a$ é uma sucessão de Cauchy. Para tal estime:

$|S_{N+k}^a-S_N^a|=\left|\sum _{n=N+1}^{N+k}{a}_n\right|$

Use a desigualdade triangular:

$|S_{N+k}^a-S_N^a|\le \sum _{n=N+1}^{N+k}|a_n|\le \sum _{n=N+1}^{N+k}{b}_n=|S_{N+k}^b-S_N^b|$

Sendo $S_N^b$ uma sucessão de Cauchy, $S_N^a$ também o é.

Exemplos

Seja a série fatorial que define o número de Euler: $e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$ Denote por $S_n$ e $R_n$ as somas parciais e o resíduo de ordem N:

$e=S_N+R_N$

$S_N=\sum _{n=0}^N\frac{1}{N!}$

$R_N=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$

Vamos mostrar que a série converge e ainda extrairemos uma estimativa para o erro:

$R_N=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{N!}\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N!}{n!}$

Como $\frac{N!}{n!}=\frac{1}{(N+1)(N+2)\cdots (n)}<\frac{1}{(N+1{)}^{n-N}},n>N$

Assim comparamos:

$R_N=\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\le \frac{1}{N!}\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(N+1{)}^{n-N}}=\frac{1}{N!}\sum _{n=N+1}^{\mathrm{\infty }}(N+1{)}^{-(n-N)}$

Usanda a soma da série geométrica, temos:

$R_N=\frac{1}{N!(N+1)}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(N+1{)}^{-n}\le \frac{1}{N!(N+1)}\frac{1}{1-(N+1{)}^{-1}}=\frac{1}{N!N}$