Teste de Abel

Predefinição:Sem fontes Predefinição:Cálculo Em matemática, o teste de Abel (Veja Niels Henrik Abel) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$

onde as duas propriedades são verificadas:

• $\sum _{n=1}^N{a}_n$ converge
• {b_n} é monótona e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=b_{\mathrm{\infty }}\ne \pm \mathrm{\infty }$

Para a demonstração,pode-se usar o Critério de Dirichlet. Como a sequência $(b_n)$ é limitada inferiormente por zero, ela converge, sendo então c seu limite.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=c$ e $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n-c=0$ onde $b_n-c$ também uma sequênca decrescente com limite 0 e assim aplica-se o Critério de Dirichlet.

Então: $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(b_n-c)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n-c\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

Somando $c.\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ em ambos os lados:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(b_n-c)+c\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$

onde $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(b_n-c)$ converge, pelo Critério de Dirichlet e $c.\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converge, pela hipótese,

Logo, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ também converge.

Exemplos

1) A série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1+1/n{)}^n}{n}$ é convergente. Neste caso, defina:

$a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$

e

$b_n={(1-1/n)}^n$

A série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n}$ é convergente pelo teste da série alternada e a sequência $b_n$ é monótona, decrescente e converge para $e^{-1}$.

2) A série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1-1/n{)}^n}{n}$ é também convergente; é tal como em 1), sendo que $b_n={(1+1/n)}^n$ é crescente, convergindo para $e$.

- Note-se que a natureza de 2) não pode ser justificada pelo teste da série alternada, ao contrário da série do exemplo 1);

de facto, $\frac{(-1+1/n{)}^n}{n}=(-1{)}^n\times \frac{{(1-1/n)}^n}{n}$ e, atendendo a que ${(1-1/n)}^n$ é monótona decrescente, podemos concluir que $b_n=\frac{{(1-1/n)}^n}{n}$ também é decrescente, sendo de termos positivos e convergindo para zero.