Limite superior e limite inferior

Uma ilustração dos limites superior e inferior. A sequência x_n é mostrada em azul.

Em matemática, sobretudo na análise, o conceito de limite assume fundamental importância. Nem toda sequência real, no entanto, possui um limite bem definido. O limite superior e o limite inferior, não obstante, estão sempre bem definidos.

Quando uma sequência é convergente, o limite, o limite inferior e o limite superior coincidem. Reciprocamente, uma sequência possui limite quando o limite inferior coincide com o limite superior.

Também se definem limite superior e limite inferior para sequências de conjuntos.

Notação e definição

Considere uma sequência ${a_{n}}_{n \in ℕ}$ de números reais qualquer. Defina a sequência auxiliar:

A_{N} = \sup_{n \geq N} a_{n}

A sequência $A_{N}$ é claramente não-crescente, pois é supremo de uma família cada vez menor de números reais. Por ser uma sequência monótona, seu limite existe (podendo ser infinito se cada $A_{N}$ for infinito) e é o ínfimo da sequência.

O limite superior de ${a_{n}}_{n \in ℕ}$ é então definido o limite da sequência $A_{N}$ . Denota-se:

$\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} = \overline{\lim_{n \to \infty}} a_{n} = \inf_{N \in ℕ} \sup_{n \geq N} a_{n} = \lim_{N \to \infty} \sup_{n \geq N} a_{n}$

E, de forma perfeitamente análoga, define-se o limite inferior:

$\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} = \underline{\lim_{n \to \infty}} a_{n} = \sup_{N \in ℕ} \inf_{n \geq N} a_{n} = \lim_{N \to \infty} \inf_{n \geq N} a_{n}$

Propriedades

Sejam ${a_{n}}_{n \in ℕ}$ e ${b_{n}}_{n \in ℕ}$ sequências de números reais, então valem as afirmações:

$\underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$
$\underset{n \to \infty}{lim inf} - a_{n} = - \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$
$\underset{n \to \infty}{lim sup} (a_{n} + b_{n}) \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} + \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n}$
$\underset{n \to \infty}{lim inf} (a_{n} + b_{n}) \geq \underset{n \to \infty}{lim inf} a_{n} + \underset{n \to \infty}{lim inf} b_{n}$
Seja ${a_{n (k)}}$ uma subsequência de ${a_{n}}$ que possua limite, então $\lim_{k \to \infty} (a_{n (k)}) \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n}$

Limite superior e inferior de uma sequência de conjuntos

Em algumas situações, sobretudo na teoria da medida, é conveniente definir os conceitos de limite superior e inferior para uma sequência de conjuntos.

Se $E_{n}$ é uma sequência de conjuntos, então define-se:

O limite superior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a uma infinidade de conjuntos $E_{n}$ .
O limite inferior é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a cada um dos $E_{n}$ exceto por um número finito deles.

Pode-se mostrar que estas definições coincidem com as seguintes:

$\underset{n \to \infty}{lim sup} E_{n} = \overline{\lim_{n \to \infty}} E_{n} = ⋂_{n = 1}^{\infty} ⋃_{k = n}^{\infty} E_{k}$
$\underset{n \to \infty}{lim inf} E_{n} = \underline{\lim_{n \to \infty}} E_{n} = ⋃_{n = 1}^{\infty} ⋂_{k = n}^{\infty} E_{k}$

É sempre verdade que $\underset{n \to \infty}{lim inf} E_{n} \subseteq \underset{n \to \infty}{lim sup} E_{n}$ . Quando estes conjuntos coincidem, dizemos que o limite existe:

\lim_{n \to \infty} E_{n} = \underset{n \to \infty}{lim inf} E_{n} = \underset{n \to \infty}{lim sup} E_{n}

Predefinição:Esboço-matemática

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