Problema de Basileia

Predefinição:Caixa Pi O Problema de Basileia é um famoso problema de teoria dos números proposto pela primeira vez por Pietro Mengoli e resolvido por Leonhard Euler em 1735. Posto que o problema não foi resolvido pelos matemáticos mais importantes da época, a solução tornou Euler rapidamente conhecido aos vinte e oito anos. Euler generalizou o problema consideravelmente, e suas ideias foram tomadas anos depois por Bernhard Riemann em seu artigo de 1859 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, onde definiu sua função zeta e demonstrou suas propriedades básicas. O problema deve seu nome à cidade onde residia Euler (Basileia), cidade onde vivia também a família Bernoulli, que tentou resolver o problema sem êxito.

O problema de Basileia consiste em encontrar a soma exata dos inversos dos quadrados dos inteiros positivos, isto é, a soma exata da série infinita:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2})$

A prova de Euler

A prova formulada por Euler parte da série de Taylor para a função seno, ou seja$$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$que conduz à fórmula

$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots \end{array}$ (1)

Para um polinômio geral de grau n, $p(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n,a_0=1$ em que $x_1,x_2,\dots ,x_n$ são n raízes de $p(x)$, vale a seguinte decomposição:$$p(x)=(1-\frac{x}{x_1})\cdots (1-\frac{x}{x_n})$$Visto que as raízes de $\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x)}{x}$ ocorrem exatamente quando $x=n\cdot \pi$ em que $n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots$, Euler assumiu que pode-se expressar a série infinita em questão como o produto das diversas raízes, tal como um polinômio finito, i.e.:$$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x)}{x}& =(1-\frac{x}{\pi })(1+\frac{x}{\pi })(1-\frac{x}{2\pi })(1+\frac{x}{2\pi })(1-\frac{x}{3\pi })(1+\frac{x}{3\pi })\cdots \\ & =(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{9{\pi }^2})\cdots \end{array}$$Desenvolvendo-se o produto, obtém-se:$$\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x)}{x}=1-(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{4{\pi }^2}+\frac{1}{9{\pi }^2}+\cdots )x^2+\cdots$$comparando-se esta igualdade com a expressão (1), constata-se, pelos termos que acompanham o $x^2$, que$$-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{{\pi }^2}-\frac{1}{4{\pi }^2}-\frac{1}{9{\pi }^2}-\cdots$$Evidenciando-se o $-\frac{1}{{\pi }^2}$, segue que$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}\cdot$$

Crítica à demonstração de Euler

Nos dias atuais, a prova apresentada por Euler não seria considerada válida; não há dúvidas, todavia, de que o resultado está correto. A crítica que se faz fundamenta-se no argumento de que séries de potências não são polinômios, e, portanto, não compartilham todas as suas propriedades, não sendo válida, pois, a utilização da decomposição apresentada. Genericamente, de fato, não é válida; na função sen(x)/x, contudo, ela funciona, visto que outras demonstrações mais minuciosas conduzem ao mesmo resultado. Seria possível através de uma abordagem mais elaborada da Análise utilizando quantidades infinitas e infinitesimais.