Seno

Gráfico da função seno, em função do ângulo em radianos

Em um círculo trigonométrico unitário, o seno do ângulo α é a medida do segmento de reta em vermelho.

O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a $\theta ,$ define-se $\mathrm{sen}(\theta )$ como sendo a razão entre o cateto oposto a $\theta$ e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja:

$$\mathrm{sen}\theta =\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}$$

Exemplo: Um triângulo retângulo cuja hipotenusa é de valor 10 e seus catetos são de valores 6 e 8. O seno do ângulo oposto ao lado de valor 6 é 6/10 , ou seja, 0,6.

Definição analítica

Pode-se definir função seno pela série de Taylor: $$\mathrm{sen}x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\text{ para todo }x$$ Esta série possui raio de convergência infinito e as bem conhecidas propriedades da função seno podem ser demonstradas diretamente através dela.

Tal definição tem sentido tanto no conjunto dos números reais como no conjunto dos números complexos, e desta maneira pode-se definir o seno de um número complexo $z=x+iy$ como:

$$\mathrm{sen}(x+iy)=\mathrm{sen}(x)\cosh (y)+i\mathrm{senh}(y)\cos (x)$$

Onde $i$ é a unidade imaginária, $\mathrm{senh}$ é a função seno hiperbólico e $\cosh$ é a função cosseno hiperbólico.

Além disso, o seno pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas, devido à relação de Euler.

$e^{ix}=\cos (x)+i\mathrm{sen}(x)$

$e^{-ix}=\cos (x)-i\mathrm{sen}(x)$

$e^{ix}-e^{-ix}=2i\mathrm{sen}(x)$

$\mathrm{sen}(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

A recíproca do seno é a cossecante, e sua inversa é arco seno.

Aproximações

Uma lista de aproximações, das mais simples às mais complexas.

Todas as aproximações abaixo podem ser facilmente verificadas, por exemplo, no Wolfram Alpha[1]

Aproximações Superiores

$0\le x\le \frac{\pi }{2}\to f(x)\ge sin(x)$

$f(x)=1$

$f(x)=x$

$f(x)=-\frac{4}{{\pi }^2}{x}^2+\frac{4}{\pi }x$

$f(x)=\frac{8}{4x^2-4\pi x+8+{\pi }^2}$

$f(x)=(\frac{8}{{\pi }^3}-\frac{4}{{\pi }^2})x^3+x$

Aproximações Inferiores

$0\le x\le \frac{\pi }{2}\to f(x)\le sin(x)$

$f(x)=0$

$f(x)=\frac{2}{\pi }x$

$f(x)=(\frac{4}{{\pi }^2}-\frac{2}{\pi })x^2+x$

$f(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{\pi }{2}x+1-\frac{{\pi }^2}{8}$

$f(x)=\frac{\pi x}{(\pi -2)x+\pi }$

$f(x)=-\frac{1}{6}{x}^3+x$

$f(x)=(\frac{4}{{\pi }^2}-\frac{16}{{\pi }^3})x^3+(\frac{12}{{\pi }^2}-\frac{4}{\pi })x^2+x$

História do nome "seno"

Foi através dos árabes que a trigonometria baseada na meia corda de uma circunferência, que foi apresentada pelos hindus, chegou à Europa.

Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do sânscrito. Os hindus tinham dado o nome de jiva à metade da corda, e os árabes a transformaram em jiba. Na língua árabe é comum escrever apenas as consoantes de uma palavra, deixando que o leitor acrescente mentalmente as vogais. Desse modo, os tradutores árabes registraram jb. Na sua tradução do árabe para o latim, Robert de Chester interpretou jb como as consoantes da palavra jaib, que significa "baía" ou "enseada", e escreveu sinus, que é o equivalente em latim. A partir daí, a jiba, ou meia corda hindu passou a ser chamada de sinus, e, em português, seno.

Ver também

• Cosseno
• Seno cardinal
• Tangente