Raio de convergência

Na teoria das Séries de Taylor, o raio de convergência pode ser zero, um número positivo ou ainda infinito. Indica o raio da circunferência em torno do centro da série de Taylor dentro da qual a série converge.

No caso das séries reais, pode-se garantir a convergência no intervalo aberto $(a-R,a+R)$, onde $a$ é centro da série e $R$ é o raio de convergência. Nada se pode afirmar sobre a convergência nos extremos do intervalo. e No caso das séries complexas, pode-se garantir que a série convirja na bola aberta $|x-a|<R$. Mais uma vez, nada se pode afirmar sobre a circunferência $|x-a|=R$

A fórmula de Hadamard permite obter o valor do raio de convergência:

$R^{-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|a_n{|}^{1/n}$, onde $a_n$ são os coeficientes da série:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(z-a{)}^n$

Existe um forma alternativa que é: $R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$, quando este limite existe.

Exemplos

As séries a seguir todas possuem o mesmo raio de convergência $(R=1)$.

• $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$
• $g(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n}$
• $h(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n^2}$

A convergência na circunferência $R=1$, no entanto, é diferente para cada caso:

• $f(z)$ não converge para nenhum z de módulo unitário pelo teste do termo geral.
• $g(z)$ não converge para z = 1, pois recai na série harmônica que diverge. E converge para todo $z\ne 1$ de módulo unitário pelo teste de Abel.
• $h(z)$ converge para todo z de módulo unitário, por comparação com a série numérica $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$.

Uma série pode ter raio de convergência nulo:

• $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n!z^n$

Esta série não pode convegir para nenhum $z\ne 0$ pelo teste do termo geral, convergindo apenas para $z=0$

Uma série pode ter raio de convergência infinito:

• $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}$

Neste caso, a série converge para todo z.

A fórmula de Hadamard

A fórmula da Hadarmad fornece o raio de convergência:

$R^{-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|a_n{|}^{1/n}$

Quando o limite à direita for infinito, o raio é nulo. Quando o limite for nulo, o raio é infinito.

O teorema da fórmula de Hadamard, afirma que a série converge uniformemente e absolutamente em cada bola $|Z-a|\le r<R$. Afirma ainda que a série não converge para nenhum ponto $Z$ tal que $|Z-a|>R$.

Para mostrar a primeira parte, escolha $r<R$. Escolha um $\epsilon >0$ tal que $R^{-1}+\epsilon <{\rho }^{-1}<r^{-1}$

Da definição de limite superior temos:

$|a_n{|}^{1/n}<R^{-1}+\epsilon <{\rho }^{-1},n>N$ para algum $N$

Agora podemos estimar os termos da série:

$|a_n(Z-a{)}^n|\le {\rho }^{-n}{r}^n={\left(\frac{\rho }{r}\right)}^{-n},n>N$

E temos a convergência uniforme pelo teste M de Weierstrass, comparando com a série numérica $M_n={\left(\frac{\rho }{r}\right)}^{-n}$ que é convergente.

Agora escolha um $Z$ tal que $|Z-a|>R$. Escolha $\epsilon$ tal que $R^{-1}-\epsilon >|Z-a{|}^{-1}$, da definição de limite superior, temos a existência de uma subseqüência $\{a_{n_k}{\}}_{k=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que:

$|a_{n_k}{|}^{1/n_k}>R^{-1}-\epsilon >|Z-a{|}^{-1}$

Assim a o termo $a_{n_k}|Z-a{|}^{n_k}$ não converge a zero e portanto a série não converge pelo teste do termo geral.

Ver também

• Série de Taylor
• Teste M de Weierstrass