Fórmula de Euler

Interpretação geométrica da fórmula de Euler.

A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa, que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial (a identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:

$e^{ix}=\cos \left(x\right)+\text{i}\mathrm{sen}\left(x\right)$,

em que:

x é o argumento real (em radianos);

$e$ é a base do logaritmo natural;

${\text{i}}^2=-1$ , onde $\text{i}$ é a unidade imaginária (número complexo);

$\mathrm{sen}(x)$ e $\cos (x)$ são funções trigonométricas.

A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes em 1714, na forma

$\ln (\cos x+\text{i}\mathrm{sen}x)=\text{i}x$

em que ln é o logaritmo natural.

História

Com a introdução dos logaritmos pelo matemático e físico escocês John Napier em 1614, um grande estudo a respeito das suas propriedades surgiram, principalmente sobre logaritmos aplicados em pontos negativos. Essa pesquisa foi alavancada no século XVIII pelo matemático suíço Leonhard Euler e seu mentor Johann Bernoulli. Bernoulli acreditava que $\log (-x)=\log (x)$ e, apesar do receio de Euler frente à essa relação, em uma das suas cartas, Euler constatou que: se $\log (xx)=z\therefore \frac{1}{2}z=\log (\sqrt{xx})$ $⟹\frac{1}{2}z=\log (\pm x)$.

No entanto, em 1746, em uma troca de cartas à Jean d’Alembert, Euler se mostra contrário à afirmação que $\log (-x)=\log (x)$ e apresenta uma nova proposta a ser futuramente publicada e que daria origem à equação de Euler.

$\log (\cos \theta +\mathrm{sen}\theta \sqrt{-1}{)}^k=(k\theta \pm 2mk\pi \pm n\pi )\sqrt{-1}$, em que $k\in ℝ$ e $m,n\in \mathbb{N}$.

Com essa equação, utilizando os valores de 1 para k e 0 para m e n, encontra-se a equação descrita por Roger Cotes em 1714,

$\log (\cos \theta +\mathrm{sen}\theta \sqrt{-1})=\theta \sqrt{-1}$

e, portanto,

$e^{\theta \sqrt{-1}}=\cos \theta +\mathrm{sen}\theta \sqrt{-1}$

No entanto, essas relações somente seriam oficialmente descritas por Euler em um artigo publicado em 1748 utilizando expansões de série exponenciais e expressões trigonométricas.

Prova utilizando cálculo

O ponto negro representa um número complexo. Seu valor absoluto é "r", a distãncia da origem. Seu argumento é φ, seu ângulo em radianos

A função exponencial $e^{i\pi }$ pode ser definida como o limite de uma sequência ${(1+\frac{i\pi }{n})}^n$, quando n tende ao infinito. Nesta animação, "n" assume valores crescentes entre 1 e 100. À medida que n cresce, ${(1+\frac{i\pi }{n})}^n$ se aproxima de -1.

Predefinição:AP Predefinição:AP Predefinição:AP Predefinição:AP Uma propriedade conhecida das funções exponenciais é que elas são iguais às suas derivadas:

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{e}^x=e^x$, onde "x" é um número real.

As funções exponenciais com números complexos também satisfazem esta mesma propriedade:

$\frac{\text{d}}{\text{d}z}{e}^z=e^z$, onde "z" é um número complexo.

Portanto, pela regra da cadeia:

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{e}^{\text{i}x}=\text{i}{e}^{\text{i}x}.$

Então definimos uma nova função, que chamaremos de "f":

$f(x)=(\cos x-\text{i}\mathrm{sen}x)\cdot e^{\text{i}x}.$

Pela regra do produto, que vale também para funções que tenham como imagem números complexos, a derivada de f(x) será::

$\begin{array}{cc}\frac{\text{d}}{\text{d}x}f(x)& =(\cos x-\text{i}\mathrm{sen}x)\cdot \frac{\text{d}}{\text{d}x}{e}^{\text{i}x}+\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\cos x-\text{i}\mathrm{sen}x)\cdot e^{\text{i}x}\\ & =(\cos x-\text{i}\mathrm{sen}x)(\text{i}{e}^{\text{i}x})+(-\mathrm{sen}x-\text{i}\cos x)\cdot e^{\text{i}x}\\ & =(\text{i}\cos x+\mathrm{sen}x-\mathrm{sen}x-\text{i}\cos x)\cdot e^{\text{i}x}\\ & =0.\end{array}$

Portanto, f(x) deve ser uma função constante em x. Já que f(0)=1 (o que pode ser facilmente descoberto substituindo-se x por 0 na função),

$1=(\cos x-\text{i}\mathrm{sen}x)\cdot e^{\text{i}x}.$

Multiplicando os dois lados por cos x + i senx, obtemos

$\begin{array}{cc}\cos x+\text{i}\mathrm{sen}x& =(\cos x+\text{i}\mathrm{sen}x)(\cos x-\text{i}\mathrm{sen}x)\cdot e^{\text{i}x}\\ & =({\cos }^{2}x-(\text{i}\mathrm{sen}x{)}^2)\cdot e^{\text{i}x}\\ & =({\cos }^{2}x+{\mathrm{sen}}^{2}x)\cdot e^{\text{i}x}\\ & =e^{\text{i}x}.\end{array}$

Prova utilizando série de Taylor

Para o estudo da fórmula de Euler necessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito:

A expansão em série de Taylor de uma função analítica $f(x)$ centrada em $a$ é representada como:

$f(x)=\sum _{n=o}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(x-a{)}^n$

com $|x-a|<R$ , onde

$C_n=\frac{f^n(a)}{n!}$

Usando esse conceito de expansão e tomando $f(x)=e^x$ em torno de $a=0$, teremos:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^n(0)x^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}$

para todo $x$ com intervalo de convergência de $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.

Em $x=1$, na equação acima, obtém-se a expressão para o número $e$, como uma soma de uma série infinita:

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...$

Se admitirmos a validade de substituirmos $x$ por $ix$ na equação obteremos:

$e^{\text{i}x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\text{i}x{)}^n}{n!}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n\cdot x^{2n}}{(2n)!}+\text{i}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}\cdot x^{2n-1}}{(2n-1)!}$

A primeira parte da soma da equação anterior ($e^{ix}$) é a expansão do $cos(x)$ e a segunda é a expansão do $sen(x)$ em série de Maclaurin. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler

$e^{\text{i}x}=\cos \left(x\right)+\text{i}\mathrm{sen}\left(x\right)$

que de forma mais generalizada pode ser escrita como:

$e^{\text{i}ux}=\cos \left(ux\right)+\text{i}\mathrm{sen}\left(ux\right)$.

Prova usando integrais e trigonometria

Todas as provas exigem uma definição para a função exponencial sobre números complexos. Nesta seção, admite-se que seja válida a seguinte generalização das integrais de números reais:

$\int \frac{dx}{x-k}=\ln (x-k)+c,\mathrm{\forall }k\in ℂ$

Onde "c" é uma constante complexa. Essa integral define implicitamente o logaritmo de números complexos, logo, também define a função exponencial (ao menos, a propriedade da subtração de expoentes).

Sabe-se que a seguinte expressão é válida para todo $x\in ℝ$:

$\frac{1}{x-\text{i}}-\frac{1}{x+\text{i}}=\frac{2\text{i}}{x^2+1}$

Ao integrar a expressão acima em ambos os lados, obtém-se:

$\ln \left(\frac{x-\text{i}}{x+\text{i}}\right)=2\text{i}\arctan (x)+c$

Para alguma constante $c\in ℂ$. Fazendo a substituição: $x=\tan \left(\frac{y}{2}\right)$, obtém-se:

$\ln \left(\frac{\mathrm{sen}(\frac{y}{2})-\text{i}\cos (\frac{y}{2})}{\mathrm{sen}(\frac{y}{2})+\text{i}\cos (\frac{y}{2})}\right)=\text{i}y+c$

Ou seja:

$e^{\text{i}y}\cdot e^c=\frac{\mathrm{sen}(\frac{y}{2})-\text{i}\cos (\frac{y}{2})}{\mathrm{sen}(\frac{y}{2})+\text{i}\cos (\frac{y}{2})}=\frac{{[\mathrm{sen}(\frac{y}{2})-\text{i}\cos (\frac{y}{2})]}^2}{{\mathrm{sen}}^2(\frac{y}{2})+{\cos }^2(\frac{y}{2})}={[\mathrm{sen}\left(\frac{y}{2}\right)-\text{i}\cos \left(\frac{y}{2}\right)]}^2={\mathrm{sen}}^2\left(\frac{y}{2}\right)-{\cos }^2\left(\frac{y}{2}\right)-2\text{i}\mathrm{sen}\left(\frac{y}{2}\right)\cos \left(\frac{y}{2}\right)=-\cos (y)-\text{i}\mathrm{sen}(y)$

Agora apliquemos $y=0$:

$e^0\cdot e^c=-1⟺e^c=-1\therefore e^{\text{i}y}=\cos (y)+\text{i}\mathrm{sen}(y),\mathrm{\forall }y\in ℝ$

Exemplo

Se tomarmos como $x=\pi =3,1415....$, então teremos um importante produto:

$e^{\text{i}\pi }=-1$

$e^{\text{i}\pi }+1=0$

Ver também

• Fórmula de De Moivre

Ligações externas

• Predefinição:Link