Identidade de Euler

A função exponencial natural Predefinição:Math pode ser definida como o limite de Predefinição:Math, quando Predefinição:Mvar tende ao infinito, e assim Predefinição:Math é o limite de Predefinição:Math. Nesta animação Predefinição:Mvar assume vários valores crescentes de 1 a 100. O cálculo de Predefinição:Math é mostrado como efeito combinado de Predefinição:Mvar multiplicações repetidas no plano complexo, com o ponto final sendo o valor de Predefinição:Math. Pode ser visto que quando Predefinição:Mvar cresce Predefinição:Math aproxima o limite −1.

Em matemática, a identidade de Euler é representada pela equação

$e^{i\pi }+1=0$.

Segundo Richard Feynman seria a identidade mais bela de toda a matemática. A equação aparece na obra de Leonhard Euler Introdução, publicada em Lausanne em 1748. Nesta equação, e é a base do logaritmo natural, $i$ é a unidade imaginária (número imaginário com a propriedade i² = -1), e $\pi$ é a constante de Arquimedes pi (π, a razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência).

A beleza da equação é que ela relaciona cinco números fundamentais da matemática: e, pi, i, 0 e 1; e as operações base da matemática: adição, multiplicação e exponenciação.

Demonstração da Identidade de Euler

A série de Taylor, de forma geral, é enunciada como,

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)(x-a{)}^n}{n!}$.

Quando aplicamos a série para a função exponencial, nós encontramos que,

$e^x=e^a(x-a{)}^0+e^a\frac{(x-a{)}^1}{1!}+e^a\frac{(x-a{)}^2}{2!}+...$

para a série centrada no ponto $a=0$,

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$.

Esta função exponencial complexa tem as mesmas propriedades que a função exponencial real. Disso concluímos que $e^{z_1+z_2}=e^{z_1}.e^{z_2}$ e se fizermos $z=iy$ onde $y$ é um número real, obteremos:$e^{iy}=1+iy+\left(\frac{(iy{)}^2}{2!}\right)+\left(\frac{(iy{)}^3}{3!}\right)+\left(\frac{(iy{)}^4}{4!}\right)+\left(\frac{(iy{)}^5}{5!}\right)\cdots =1+iy-\left(\frac{y^2}{2!}\right)-i\left(\frac{y^3}{3!}\right)+\left(\frac{y^4}{4!}\right)+i\left(\frac{y^5}{5!}\right)\cdots$

$=1-\left(\frac{y^2}{2!}\right)+\left(\frac{y^4}{4!}\right)-\left(\frac{y^6}{6!}\right)\cdots +i[y-\left(\frac{y^3}{3!}\right)+\left(\frac{y^5}{5!}\right)\cdots ]$

$=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{y}^{2n}}{(2n)!}+i\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{y}^{2n+1}}{(2n+1)!}$,

as duas séries são as famosas séries das funções $cos(y)$ e $sen(y)$, respectivamente. Portanto, vemos que a função exponencial com argumento complexo será

$e^{iy}=cos(y)+isen(y)$.

aplicando para $y=\pi$

$e^{i\pi }=-1\to e^{i\pi }+1=0$

Bibliografa

• Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer Predefinição:ISBN
• Crease, Robert P. (10 May 2004), "The greatest equations ever", Physics World
• Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America Predefinição:ISBN
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
• Kasner, E.; Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998), Predefinição:Mvar: The Story of a number, Princeton University Press Predefinição:ISBN
• Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press Predefinição:ISBN
• Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books Predefinição:ISBN
• Reid, Constance (várias edições), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
• Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America Predefinição:ISBN
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