Logaritmo natural

O gráfico do logaritmo natural.

Predefinição:E (constante matemática) O logaritmo natural, também conhecido como logaritmo neperiano, é o logaritmo de base e, um número irracional aproximadamente igual a 2,71828. É definido para todos os números reais estritamente positivos $x$ e admite uma extensão como uma função complexa analítica em $𝐂\mathrm{\setminus }\{0\}$.

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

O logaritmo neperiano leva o nome de seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), que utilizou a base 1/e e não a base e. É, portanto, a função inversa da função exponencial.

Origem

Em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar de exercícios tais como multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (ver exponenciação) que: $$a^{(x+y)}=a^x{a}^y$$

se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo $u=a^x,$ multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma: $$u=a^x,v=a^y,uv=a^{(x+y)}$$

O problema então é construir essa tábua de logaritmos. Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno $(x<1)$, temos $$a^x\approx 1+kx$$

sendo a constante k dependente apenas de a mas não de x. Por exemplo, para a = 2, k ≈ 0,7 e para a = 10, k ≈ 2,3.

A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

Uma definição precisa em $𝐑$

Uma maneira de definir o logaritmo natural: $$\ln (x):{𝐑}^{+}\to 𝐑$$ é através da integral: $$\ln (x):=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t}$$

Para mostrar que esta definição de fato conduz a uma função logarítmica, devemos estabelecer:

• $\ln (1)=0$
• $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b),\mathrm{\forall }a,b>0$
• $\ln (x)$ é uma função contínua.

A dificuldade reside apenas em mostrar a segunda propriedade, então vejamos: $$\ln (ab)=\underset{1}{\overset{ab}{\int }}\frac{dt}{t}=\underset{1}{\overset{a}{\int }}\frac{dt}{t}+\underset{a}{\overset{ab}{\int }}\frac{dt}{t}$$ A primeira parcela desta soma é $\ln (a)$ e a segunda parcela pode ser resolvida pela substituição: $u=t/a,$ portanto: $$\ln (ab)=\ln (a)+\underset{1}{\overset{b}{\int }}\frac{du}{u}$$ segue que $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$

Sabemos então que $\ln (x)={\log }_b(x)$ para alguma base $b$ a ser determinada.

Da simples definição temos: $$\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}$$

Seja $b^x$ a função inversa de $\ln (x),$ então, usando a fórmula $\frac{d}{dx}{f}^{-1}(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))},$ obtemos: $$\frac{d}{dx}{b}^x=b^x$$

Portanto $b=e,$ onde $e$ é o número de Euler.

Convenções de notação

Os matemáticos geralmente utilizam as notações "ln(x)" para significar log_e(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log₁₀(x)"ou "log(x)" para o logaritmo de base 10 de x. Engenheiros, biólogos, economistas e outros escrevem somente "ln(x)" ou (ocasionalmente) "log_e(x)" quando querem indicar o logaritmo natural de x, e "log(x)" para log₁₀(x) e, em Computação, log(x) para log₁₀(x) e lg(x) para log₂(x). Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado para log₁₀(x) por pessoas que usam log(x) com um l minúsculo para log_e(x).

Função logarítmica complexa

Definimos a função logarítmica natural de uma variável complexa $z$ pela equação: $$\ln z=\ln r+i(\theta \pm 2k\pi )$$

onde $r$ é o módulo e $\theta$ é o argumento medido em radianos do número complexo$z$; $k=(1,2,3,\dots )$ e $\ln$ $r$ define o logaritmo natural real positivo de $r.$

Assim, a função $ln$ $z$ é multivalente com infinitos valores - mesmo para números reais. Chamamos de valor principal de $ln$ $z$ o número definido por: $$\ln z=\ln r+i\theta$$

Derivada da função logarítmica natural

Predefinição:VT Dada a função:

$f(x)=\ln (x)$

a sua derivada é:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{ln(x+h)-ln(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{ln((x+h)/x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}.ln(1+\frac{h}{x})=\underset{h\to 0}{\lim }ln(1+\frac{h}{x}{)}^{\frac{1}{h}}=\underset{h\to 0}{\lim }ln(1+\frac{1}{x/h}{)}^{\frac{1}{h}}$

Após uma mudança de variável

$u=\frac{x}{h}$

$\underset{u\to \mathrm{\infty }}{\lim }ln(1+\frac{1}{u}{)}^{\frac{u}{x}}=\frac{1}{x}\underset{u\to \mathrm{\infty }}{\lim }ln(1+\frac{1}{u}{)}^u=\frac{1}{x}.ln(e)$

que resulta em:

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$

Integral da função logarítmica

Dada a função: $$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C$$

esta integral pode ser obtida pela aplicação da integração por partes, ou seja: $$\int \ln (x)dx=\int (x{)}^{\prime }\ln (x)dx=x\ln (x)-\int x(\ln (x){)}^{\prime }dx.$$