E (constante matemática)

Gráfico da equação Predefinição:Math. Aqui, Predefinição:Mvar é o número único maior que 1 que faz a área sob a curva ser igual a 1.

Predefinição:E (constante matemática) O número Predefinição:Mvar é uma constante matemática, aproximadamente igual a 2,71828, que é a base dos logaritmos naturais. Pode ser definido de diversas maneiras, como o limite de uma sequência, uma soma infinita, entre outras definições. O número Predefinição:Mvar também é chamado de número de Euler, nomeado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, porém este nome pode levar a confusão com os números de Euler, ou a constante de Euler, uma constante diferente, usualmente denotada Predefinição:Mvar. Alternativamente, Predefinição:Mvar pode ser chamada de constante de Neper, em homenagem a John Napier.Predefinição:Ref infopedia A constante foi descoberta pelo matemático suíço Jacob Bernoulli enquanto estudava juros compostos.

O número Predefinição:Mvar é de grande importância na matemática, junto de 0, 1, [[Pi|Predefinição:Pi]], e Predefinição:Mvar. Todos os cinco aparecem numa formulação da identidade de Euler $e^{i\pi }+1=0$ e têm papéis importantes e recorrentes na matemática. Semelhante à constante Predefinição:Pi, Predefinição:Mvar é irracional (não pode ser representado como uma razão de dois inteiros) e transcendente (não é uma raiz de nenhuma função polinomial com coeficientes racionais).

Fundamentos

Definições

O número Predefinição:Mvar pode ser definido em termos de limite como $$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n,$$ sendo essa expressão oriunda da análise de juros compostos.

Este número também pode ser expresso como soma de uma série infinita: $$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\cdots$$

Ele também é o único número positivo Predefinição:Mvar tal que o gráfico da função Predefinição:Math tem um declive de 1 quando Predefinição:Math.Predefinição:Sfn

A função exponencial (natural) Predefinição:Math é a única função que é igual a sua própria derivada e que satisfaz a equação Predefinição:Math. Visto que a função exponencial é usualmente denotada como Predefinição:Math, tem-se quePredefinição:Sfn $$e=e^1=\exp (1).$$

O logaritmo de base Predefinição:Mvar pode ser definido como a função inversa de Predefinição:Math. Pelo fato de Predefinição:Math implicar em Predefinição:Math, Predefinição:Mvar é a base do logaritmo natural, pois Predefinição:Math.Predefinição:Sfn

O número Predefinição:Mvar também pode ser caracterizado utilizando uma integral: $$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx=1,$$

Para outras caracterizações, veja Predefinição:Slink.

Teoria dos números

Predefinição:Mvar é irracional, o que significa que não pode ser escrito como uma razão de dois números inteiros. Euler provou isso ao mostrar que a expansão de sua fração contínua não termina. (Ver também a [[Prova de que e é irracional#Prova de Fourier|Prova de Fourirer de que Predefinição:Mvar é irracional]].)

Além disso, pelo teorema de Lindemann–Weierstrass, Predefinição:Mvar é transcendente, o que significa que ele não uma solução para uma equação polinomial não nula com coeficientes racionais. Ele foi o primeiro número a ser provado ser transcendente sem ter sido construído especificamente para esse fim (compare com os números de Liouville); a prova foi dada por Charles Hermite em 1873.

É conjecturado que Predefinição:Mvar seja normal, o que significa que quando Predefinição:Mvar é expresso em qualquer base, os possíveis dígitos nesta base são distribuídos uniformemente (ocorre com mesma probabilidade em qualquer sequência de um dado comprimento).

Na geometria algébrica, um período é um número que pode ser expresso como uma integral de uma função algébrica sobre um domínio algébrico. A constante Predefinição:Pi é um período, mas é conjurado que Predefinição:Mvar não seja.

Valores aproximados e dígitos

Algumas aproximações de Predefinição:Mvar incluem:

• Inteiros: 3Predefinição:TagNota
• Frações: Frações aproximadas incluem (em ordem crescente de acurácia) Predefinição:Sfrac, Predefinição:Sfrac, Predefinição:Sfrac, Predefinição:Sfrac, Predefinição:Sfrac, e Predefinição:Sfrac. (Lista são termos selecionados de Predefinição:OEIS2C e Predefinição:OEIS2C.)
• Dígitos: Os primeiros 50 dígitos decimais são Predefinição:Gaps (ver Predefinição:OEIS2C)

Dígitos noutras bases

• Os primeiros 48 dígitos binários (base 2, chamado de bits) são Predefinição:Gaps (ver Predefinição:OEIS2C)
• Os primeiros 36 dígitos em ternário (base 3) são Predefinição:Gaps (ver Predefinição:OEIS2C)
• Os primeiros 20 dígitos em hexadecimal (base 16) são Predefinição:Gaps (ver Predefinição:OEIS2C)

História

A primeira referência à constante foi publicada em 1618 numa tabela de apêndice de um trabalho de logaritmos por John Napier. No entanto, esta obra não continha a constante em si, mas simplesmente uma lista de [[Logaritmo natural|logaritmos na base Predefinição:Mvar]]. Assume-se que a tabela foi escrita por William Oughtred. Em 1661, Christiaan Huygens estudou como calcular logaritmos por métodos geométricos e calculou uma quantidade que seria o logaritmo de base 10 de Predefinição:Mvar, mas ele não reconheceu o próprio Predefinição:Mvar como uma quantidade de interesse.

A constante em si foi introduzida por Jacob Bernoulli em 1683, para resolver problemas de juros continuamente compostos. Em sua solução, a constante Predefinição:Mvar ocorre como o limite Falhou a verificação gramatical (Erro de conversão. O servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") devolveu: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},} em que Predefinição:Mvar representa o número de intervalos em um ano em que o juro composto é calculado (por exemplo, Predefinição:Math para juros compostos mensalmente).

O primeiro símbolo utilizado para esta constante foi a letra Predefinição:Mvar por Gottfried Leibniz em cartas a Christiaan Huygens em 1690 e 1691.

Os primeiros registros de uso da letra Predefinição:Mvar para a constante, por Leonhard Euler, são de 1727 ou 1728, em um artigo não publicado sobre forças explosivas em canhões, e em uma carta para Christian Goldbach em 25 de novembro de 1731. A primeira aparição de Predefinição:Mvar em uma publicação impressa foi em Mechanica de Euler (1736). É desconhecido o motivo pelo qual Euler escolheu a letra Predefinição:Mvar. Embora alguns pesquisadores tenham usado a letra Predefinição:Mvar nos anos subsequentes, a letra Predefinição:Mvar era a mais comum e tornou-se a padrão.

Euler provou que Predefinição:Mvar é a soma da série infinita $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots ,$$ em que Predefinição:Math é o fatorial de Predefinição:Mvar. A equivalência das duas caracterizações usando o limite e a série infinita podem ser provados usando o binômio de Newton.

Aplicações

Juros compostos

O efeito de ganhar 20% de juros anuais num investimento inicial de mil dólares a várias frequências compostas. A curva limite no topo é o gráfico Predefinição:Math, em que Predefinição:Mvar está em dólares, Predefinição:Mvar em anos, e 0,2 = 20%

Jacob Bernoulli descobriu esta constante em 1683, enquanto estudava uma questão sobre juros compostos:

Se os juros forem creditados duas vezes ao ano, os juros a cada seis meses serão de 50%; então o um dólar inicial será multiplicado por 1,5 duas vezes, rendendo Predefinição:Nowrap no fim do ano. Se forem considerados rendimentos trimestrais, renderão Predefinição:Nowrap e, mensalmente, Predefinição:Nowrap Se há Predefinição:Mvar intervalos compostos, os juros de cada intervalo serão Predefinição:Math e o valor no fim do ano será Predefinição:Math.

Bernoulli observou que essa sequência se aproxima de um limite à medida que Predefinição:Mvar aumenta e, assim, intervalos de rendimento diminuem. Com rendimento semanal (Predefinição:Math), o valor atinge $ 2,692596..., enquanto com rendimento diário (Predefinição:Math) atinge $ 2,714567... (aproximadamente dois centavos a mais). O limite à medida que Predefinição:Mvar cresce é o número que ficou conhecido como Predefinição:Mvar. Ou seja, com rendimentos contínuos, o valor da conta atinge $ 2,718281828... De maneira mais geral, uma conta que começa com um dólar e oferece uma taxa de juros anual de Predefinição:Mvar, após Predefinição:Mvar anos, resultará em Predefinição:Mvar dólares com capitalização contínua. Aqui, Predefinição:Mvar é a equivalência decimal da taxa de juros expressa em porcentagem, de modo que, para 5% de juros, Predefinição:Math.

Ensaio de Bernoulli

Gráfico de probabilidade Predefinição:Mvar de não observar eventos independentes, cada um de probabilidade Predefinição:Math, após Predefinição:Mvar ensaios de Bernoulli, e de Predefinição:Math versus Predefinição:Mvar ; pode-se observar que à medida que Predefinição:Mvar aumenta, a probabilidade de um evento de chance de Predefinição:Math nunca acontecer após Predefinição:Mvar tentativas converge rapidamente para Predefinição:Math

O Número Predefinição:Mvar também tem aplicações na teoria das probabilidades, de uma maneira que não está obviamente relacionada com o crescimento exponencial. Suponha que um jogador jogue em uma máquina caça-níqueis que paga com uma probabilidade de uma em Predefinição:Mvar jogadas e jogue Predefinição:Mvar vezes. À medida que Predefinição:Mvar aumenta, a probabilidade de o jogador perder todas as Predefinição:Mvar apostas aproxima-se de Predefinição:Math. Para Predefinição:Math, isso já é aproximadamente 1/2,789509...

Este é um exemplo de processo de Bernoulli. Cada vez que se joga no caça-níqueis, há uma probabilidade de uma em Predefinição:Mvar de ganhar. Considerando o caso de Predefinição:Mvar jogadas, pode-se modelar a situação pela distribuição binomial, que é proximamente relacionada ao binômio de Newton e ao triângulo de Pascal. A probabilidade de ganhar Predefinição:Mvar vezes das Predefinição:Mvar tentativas é de:

$\mathrm{Pr}[k\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{e}n]=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(\frac{1}{n}\right)}^k{(1-\frac{1}{n})}^{n-k}.$

Em particular, a probabilidade de não ganhar nenhuma vez (Predefinição:Math) é

$\mathrm{Pr}[0\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{t}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{d}\mathrm{e}n]={(1-\frac{1}{n})}^n.$

O limite da expressão acima, quando Predefinição:Mvar tende a infinito, é precisamente Predefinição:Math.

Crescimento e decaimento exponencial

Predefinição:AP O crescimento exponencial é um processo que aumenta a quantidade ao longo do tempo a uma taxa cada vez maior. Isso ocorre quando a taxa de variação instantânea (ou seja, a derivada) de uma quantidade em relação ao tempo é proporcional à própria quantidade. Descrita como uma função, uma quantidade passando por crescimento exponencial é uma função exponencial do tempo, ou seja, a variável que representa o tempo é o expoente (em contraste com outros tipos de crescimento, como a ordem quadrática). Se a constante de proporcionalidade for negativa, então a quantidade diminui ao longo do tempo, e diz-se que está passando por um decaimento exponencial. A lei do crescimento exponencial pode ser expressa de formas diferentes, mas matematicamente equivalentes, usando uma base diferente, para a qual o número Predefinição:Mvar é uma escolha comum e conveniente: $$x(t)=x_0\cdot e^{kt}=x_0\cdot e^{t/\tau }.$$

Aqui, Predefinição:Math denota o valor inicial da quantidade Predefinição:Mvar, Predefinição:Mvar é o constante de variação, e Predefinição:Mvar é o tempo que leva para a quantidade aumentar um fator de Predefinição:Mvar.

Distribuição normal padrão

Predefinição:AP A distribuição normal com média zero e desvio padrão unitário é conhecida como a distribuição normal padrão, dada pela função densidade de probabilidade $$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{x}^2}.$$

A restrição do desvio padrão unitário (e, portanto, também da variância unitária) resulta no Predefinição:Sfrac do expoente, e a restrição da área total unitária sob a curva $\varphi (x)$ resulta no fator $1/\sqrt{2\pi }$. Esta função possui o eixo de simetria em Predefinição:Math, onde ela atinge o seu valor máximo $1/\sqrt{2\pi }$, e tem os pontos de inflexão em Predefinição:Math.

Desarranjo

Predefinição:AP Outra aplicação de Predefinição:Mvar, também descoberta em parte por Jacob Bernoulli junto com Pierre Rémond de Montmort, está no problema de desarranjos: Predefinição:Mvar convidados são convidados para uma festa e, à entrada, os convidados entregam seus chapéus ao mordomo, que por sua vez coloca os chapéus em Predefinição:Mvar caixas, cada uma rotulada com o nome de um convidado. No entanto, o mordomo não perguntou as identidades dos convidados e, portanto, coloca os chapéus em caixas selecionadas aleatoriamente. O problema de Montmort é encontrar a probabilidade de nenhum dos chapéus ser colocado na caixa certa. Essa probabilidade, denotada por Predefinição:Mvar, é dada por:

$p_n=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{n!}=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}.$

Quando Predefinição:Mvar tende a infinito, Predefinição:Mvar se aproxima de Predefinição:Math. Além disso, o número de maneiras que os chapéus podem ser colocados nas caixas de forma que nenhum fique na caixa correta é o inteiro mais próximo de Predefinição:Math, para todo Predefinição:Mvar positivo.

Problemas de planejamento ótimo

O valor máximo de $\sqrt[x]{x}$ ocorre em Predefinição:Math. Equivalentemente, para qualquer valor da base Predefinição:Math, o valor máximo de Predefinição:Math ocorre em Predefinição:Math (o Predefinição:Ill, discutido em Predefinição:Slink).

Isto é útil em problemas de um graveto de comprimento Predefinição:Mvar que foi quebrado em Predefinição:Mvar partes iguais. O valor de Predefinição:Mvar que maximiza o produto de seus comprimentos éPredefinição:Sfn

$n=\lfloor \frac{L}{e}\rfloor$ ou $\lceil \frac{L}{e}\rceil .$

A quantidade Predefinição:Math também é uma medida de informação extraída de um evento que ocorre com probabilidade Predefinição:Math (aproximadamente 36,8% quando Predefinição:Math, de modo que essencialmente a mesma divisão ótima aparece em problemas de planejamento ótimo, como o problema da secretária.

Assintóticos

O número Predefinição:Mvar ocorre naturalmente em conexão com diversos outros problemas envolvendo análise assintótica. Um exemplo é a Fórmula de Stirling para a análise assintótica da função fatorial, no qual ambos os números Predefinição:Mvar e [[pi|Predefinição:Pi]] aparecem: $$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$$

Consequentemente, $$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}.$$

Propriedades

Cálculo

Os gráficos das funções Predefinição:Math para quando Predefinição:Math (pontilhado), Predefinição:Math (azul), e Predefinição:Math (tracejado). Todos eles passam pelo ponto Predefinição:Math, mas a reta vermelha (cujo declive é Predefinição:Math) somente é tangente de Predefinição:Mvar neste caso

O valor da função logarítmica natural para o logaritmando Predefinição:Mvar, isto é, Predefinição:Math, é igual a Predefinição:Math

A principal motivação para a introdução do número Predefinição:Mvar, particularmente no cálculo, é para realizar cálculos diferenciais e integrais com funções exponenciais e logarítmicas. A função exponencial geral Predefinição:Math tem uma derivada, dada pelo limite:Predefinição:Sfn

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{a}^x& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^x{a}^h-a^x}{h}\\ & =a^x\cdot \left(\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}\right).\end{array}$

O limite entre parênteses é independente da variável Predefinição:Mvar. Seu valor é o logaritmo de Predefinição:Mvar na base Predefinição:Mvar. Portanto, quando o valor de Predefinição:Mvar é igual a Predefinição:Mvar, o limite é igual a Predefinição:Math, e assim chega-se à simples identidade:Predefinição:SfnPredefinição:Sfn $$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x.$$

Assim, diferentemente de qualquer outra base, os cálculos envolvendo derivada são simplificados quando a base da função exponencial é Predefinição:Mvar.Predefinição:Sfn

Ao se considerar a derivada da função logarítmica de base Predefinição:Mvar (ou seja, Predefinição:Math), para Predefinição:Math

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}{\log }_{a}x& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(x+h)-{\log }_a(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\log }_a(1+h/x)}{x\cdot h/x}\\ & =\frac{1}{x}{\log }_a(\underset{u\to 0}{\lim }(1+u{)}^{\frac{1}{u}})\\ & =\frac{1}{x}{\log }_{a}e,\end{array}$

em que foi feita a substituição Predefinição:Math. O logaritmo de base Predefinição:Mvar de Predefinição:Mvar é Predefinição:Math, se Predefinição:Mvar for igual a Predefinição:Mvar.Predefinição:Sfn Então, simbolicamente, $$\frac{d}{dx}{\log }_{e}x=\frac{1}{x}.$$

O logaritmo com esta base especial é chamado de logaritmo natural, sendo denotado, geralmente, por Predefinição:Math.Predefinição:SfnPredefinição:TagNota

As cinco regiões coloridas possuem a mesma área, e definem unidades de ângulo hiperbólico junto com a hipérbole Predefinição:Math.

A série de Taylor para a função exponencial pode ser deduzida de fato que essa função é a sua própria derivada e que é igual a 1 quando avaliada em Predefinição:Math:Predefinição:Sfn $$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}.$$

Definindo Predefinição:Math recupera a definição de Predefinição:Mvar como a soma de séries infinitas.Predefinição:Sfn

A função logaritmo natural pode ser definida como a integral de 1 a Predefinição:Mvar de Predefinição:Math, e a função exponencial como a função inversa do logaritmo natural. O número Predefinição:Mvar é o valor da função exponencial avaliada em Predefinição:Math, ou, equivalentemente, o número no qual o logaritmo natural é 1. Disso segue que Predefinição:Mvar é o único número real positivo que $$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{t}dt=1.$$

Porque Predefinição:Mvar é a única função (salvo pelas multiplicações por uma constante Predefinição:Mvar) que é igual a sua própria derivada: $$\frac{d}{dx}K{e}^x=K{e}^x,$$ e, portanto, também por sua própria antiderivada:Predefinição:Sfn $$\int K{e}^{x}dx=K{e}^x+C.$$

Equivalentemente, a família de funções $$y(x)=K{e}^x$$ em que Predefinição:Mvar é qualquer número real ou complexo, é a solução completa para a equação diferencialPredefinição:Sfn $$y^{\prime }=y.$$

Desigualdades

As funções exponenciais Predefinição:Math e Predefinição:Math interseptam o gráfico de Predefinição:Math, respectivamente, em Predefinição:Math e Predefinição:Math. O número Predefinição:Mvar é a única base tal que Predefinição:Math intersepta apenas em Predefinição:Math. Podemos inferir que Predefinição:Mvar está entre 2 e 4

O número Predefinição:Mvar é o único número real tal que $${(1+\frac{1}{x})}^x<e<{(1+\frac{1}{x})}^{x+1}$$ para todo Predefinição:Mvar positivo.

Da primeira das desigualdades acima resulta que $$e^x\ge x+1$$ para todo Predefinição:Mvar real, com a igualdade se, e somente se, Predefinição:Math. Tal desigualdade pode ser vista como um caso limite da desigualdade de Bernoulli. Além disso, Predefinição:Mvar é a única base da exponencial Predefinição:Math tal que a desigualdade Predefinição:Math se mantém verdadeira para todo Predefinição:Mvar.

Função do tipo exponencial

O máximo global de Predefinição:Math ocorre em Predefinição:Math

O Predefinição:Ill questiona o máximo global da função $$f(x)=x^{\frac{1}{x}}.$$

Este máximo ocorre precisamente em Predefinição:Math. Isso pode ser verificado ao notar que a derivada de Predefinição:Math é zero somente neste valor de Predefinição:Mvar.

Similarmente, Predefinição:Math é onde ocorre o mínimo global da função $$f(x)=x^x.$$

A tetração infinita

$x^{x^{x^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$ ou ${}^{\mathrm{\infty }}x$

converge se e somente se Predefinição:Math, o que foi mostrado por Leonhard Euler.

Números complexos

A função exponencial Predefinição:Mvar pode ser escrita como uma série de TaylorPredefinição:Sfn $$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}.$$

Já que esta série é convergente para todo valor complexo de Predefinição:Mvar, é comumente utilizada para estender a definição de Predefinição:Mvar para os números complexos. Isto, junto com a série de Taylor para [[Função trigonométrica|Predefinição:Math e Predefinição:Math]], permite que seja derivado a fórmula de Euler: $$e^{ix}=\cos x+i\mathrm{sen}x,$$ que vale para todo complexo Predefinição:Mvar. O caso especial com Predefinição:Math é a identidade de Euler: $$e^{i\pi }+1=0,$$ que é considerado um exemplar de beleza da matemática, já que exibe uma profunda conexão entre os números mais fundamentais da matemática. Em adição, é diretamente utilizado numa prova que Predefinição:Pi é transcendente, que implica na impossibilidade da quadratura do círculo. Além disso, a identidade implica que, no principal ramo do logaritmo, $$\ln (-1)=i\pi .$$

Ademais, usando as propriedades da potenciação, $$(\cos x+i\mathrm{sen}x{)}^n={\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}=\cos (nx)+i\mathrm{sen}(nx),$$ para qualquer inteiro Predefinição:Mvar, que é a fórmula de De Moivre.

As expressões Predefinição:Math e Predefinição:Math em termos da função exponencial pode ser deduzido como a série de Taylor: $$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$$

A expressão Predefinição:Math às vezes é abreviado como Predefinição:Math.

Representações

Predefinição:AP O número Predefinição:Mvar pode ser representado de diversas maneiras: como uma série infinita, um produtório infinito, uma fração contínua, ou um limite. Em adição aos limites e séries dados acima, há também a fração contínua

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],$

que escrito é

$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}}}}.$

O seguinte produtório é avaliado como Predefinição:MvarPredefinição:Sfn $$e=\frac{2}{1}{\left(\frac{4}{3}\right)}^{1/2}{\left(\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}\right)}^{1/4}{\left(\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}\right)}^{1/8}\cdots .$$

Diversas outras representações de Predefinição:Mvar como séries, produtórios, frações contínuas e limites já foram provados.Predefinição:Sfn

Representações estocásticas

Em adição às expressões analíticas exatas para representar Predefinição:Mvar, há técnicas estocásticas para estimar Predefinição:Mvar. Uma dessas aproximações inicia com a sequência infinita de variáveis aleatórias Predefinição:Math, Predefinição:Math..., dados da distribuição uniforme em [0, 1]. Seja Predefinição:Mvar o menor número Predefinição:Mvar tal que a soma das primeiras Predefinição:Mvar observações exceda 1: $$V=\min \{n\mid X_1+X_2+\cdots +X_n>1\}.$$

Então o valor esperado de Predefinição:Mvar é Predefinição:Mvar: Predefinição:Math.

Dígitos conhecidos

O número de dígitos conhecidos de Predefinição:Mvar aumentou substancialmente durante a última década. Isso foi devido tanto ao aumento do desempenho dos computadores quanto a melhorias nos algoritmos.

Número de dígitos decimais conhecidos de Predefinição:Mvar

Data	Dígitos decimais	Computação realizada por
1690	1	Jacob Bernoulli
1714	13	Roger Cotes
1748	23	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1949	2010	John von Neumann (no ENIAC)
1961	100 265	Daniel Shanks e John Wrench
1978	116 000	Steve Wozniak no Apple II

Desde 2010, a proliferação de computadores pessoais modernos de alta velocidade, tornou-se viável que amadores computassem trilhões de dígitos de Predefinição:Mvar numa quantidade aceitável de tempo. Em 5 de dezembro de 2020, foi realizado um cálculo recorde, no qual foram calculados Predefinição:Fmtn (aproximadamente Predefinição:MvarPredefinição:E) dígitos de Predefinição:Mvar.

Computar os dígitos

Uma maneira de computar os dígitos de Predefinição:Mvar é com a sériePredefinição:Sfn $$e=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}.$$

Um método mais rápido que envolve duas funções recursivas Predefinição:Math e Predefinição:Math. As funções são definidas como

$\left[\begin{array}{c}p(a,b)\\ q(a,b)\end{array}\right]=\{\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{c}1\\ b\end{array}\right],& \text{se }b=a+1\text{,}\\ \left[\begin{array}{c}p(a,m)q(m,b)+p(m,b)\\ q(a,m)q(m,b)\end{array}\right],& \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{r}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{o},\end{array}$

em que Predefinição:Math.Predefinição:Sfn

A expressão $$1+\frac{p(0,n)}{q(0,n)}$$ produz a Predefinição:Mvar-ésima soma parcial da série acima. Este método utiliza Predefinição:Ill para computar Predefinição:Mvar com menos operações aritméticas de dígito único e, portanto, reduzindo a complexidade por unidades. Combinando com métodos baseados na transformada rápida de Fourier de multiplicar inteiros deixa a computação dos dígitos bem rápida.Predefinição:Sfn

Na cultura computacional

Durante o surgimento da cibercultura, o número Predefinição:Mvar tem recebido homenagens ao longo da história, refletindo sua importância em diversas áreas.

Um antigo exemplo é do cientista da computação Donald Knuth fez que o número da versão do seu programa Metafont se aproximasse de Predefinição:Mvar. As versões eram 2, 2.7, 2.71, 2.718, e assim por diante.

Noutra instância, a oferta pública inicial do Google em 2004, em vez de um valor redondo de dinheiro, a empresa anunciou que a intenção era de aumentar Predefinição:Fmtn, que é o arredondamento de Predefinição:Mvar bilhões de dólares.

O Google também foi responsável por um outdoor que apareceu no coração do Vale do Silício, e posteriormente em Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington; e Austin, Texas. Ele dizia "{first 10-digit prime found in consecutive digits of Predefinição:Mvar}.com" (Predefinição:Lit primeiro número primo de 10 dígitos encontrado em dígitos consecutivos de Predefinição:Mvar). O primeiro número primo de 10 dígitos em Predefinição:Mvar é 7427466391, que começa no 99.º dígito. Resolver esse problema e visitar o site anunciado (agora desativado) levou a um problema ainda mais difícil de resolver, que consistia em encontrar o quinto termo na sequência 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Descobriu-se que a sequência consistia em números de 10 dígitos encontrados em dígitos consecutivos de Predefinição:Mvar, cuja soma dos dígitos era 49. O quinto termo na sequência é 5966290435, que começa no 127.º dígito. Resolver esse segundo problema levou finalmente a uma página da Google Labs onde o visitante era convidado a enviar um currículo.

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro

Leitura adicional

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar periódico

Ligações externas

• 1 milhão de casas decimais do número Predefinição:Mvar e NASA.gov para 2, 5 e 10 milhões de casas decimais Predefinição:En
• Aproximações de Predefinição:Mvar Predefinição:En no Wolfram MathWorld
• Primeiros usos de símbolos para constantes Predefinição:En 13 de janeiro de 2008
• A história de Predefinição:Mvar Predefinição:En, por Robin Wilson no Gresham College, 28 de fevereiro de 2007 (download disponível do áudio e vídeo)
• Ferramenta de busca de Predefinição:Mvar Predefinição:En 2 bilhões de dígitos pesquisáveis de Predefinição:Mvar, Predefinição:Pi e Predefinição:Radic