Triângulo de Pascal

O triângulo de Yang Hui foi publicado na China, em 1303.

O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente na Itália, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números binomiais $\begin{array}{c}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\end{array}$, onde $n$ representa o número da linha e $k$ representa o número da coluna, iniciando a contagem a partir do zero. Na China aparece nas obras de Chu Shi-kié no século XII, na Pérsia o poeta e matemático Omar Khayyám do século XII o utiliza para descobrir raízes n-ésimas, na Alemanha o triângulo aparece no livro de Petrus Apianus no século XVI. No entanto, foi Blaise Pascal que estudou e utilizou as propriedades do triângulo na teoria das probabilidades. O triângulo também pode ser representado como:

	0	1	2	3	4	5	6
0	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	3	4	5	6
2	1	3	6	10	15
3	1	4	10	20
4	1	5	15
5	1	6
6	1

Ele define os números no triângulo por recursão: Chame o número na (m+1)-ésima linha e na (n+1)-ésima coluna por t_mn. Então t_mn = t_m-1,n-1 + t_m-1,n, para m = 0, 1, 2... e n = 0, 1, 2... As condições de contorno são t_{m, −1} = 0, t_{−1, n} para m = 1, 2, 3... e n = 1, 2, 3... O gerador t₀₀ = 1. Pascal conclui com a prova,

$t_{mn}=\frac{(m+n)(m+n-1)...(m+1)}{n(n-1)...1}.$

Propriedades

Relação de Stifel

O triângulo de Pascal.

Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima.$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

$\begin{array}{ccccccc}& \mathrm{𝟎}& \mathrm{𝟏}& \mathrm{𝟐}& \mathrm{𝟑}& \mathrm{𝟒}& \mathrm{𝟓}\\ \mathrm{𝟎}& 1& & & & & \\ \mathrm{𝟏}& 1& 1& & & & \\ \mathrm{𝟐}& 1& 2& 1& & & \\ \mathrm{𝟑}& 1& 3& 3& 1& & \\ \mathrm{𝟒}& 1& 4& \underset{\_}{\bar{6}}& \underset{\_}{\bar{4}}& 1& \\ \mathrm{𝟓}& 1& 5& 10& \underset{\_}{\overline{10}}& 5& 1\end{array}$

Portanto:

$\begin{array}{ccccc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})& +& (\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})& =& (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\\ & & & & \\ 6& +& 4& =& 10\end{array}$

Soma de uma linha

A soma de uma linha no triângulo de Pascal é igual a $2^n$.

$\begin{array}{ccccccccc}& \mathrm{𝟎}& \mathrm{𝟏}& \mathrm{𝟐}& \mathrm{𝟑}& \mathrm{𝟒}& \mathrm{𝟓}& \mathrm{𝟔}& {\mathrm{𝟐}}^{𝐧}\\ \mathrm{𝟎}& 1& & & & & & & 2^0=1\\ \mathrm{𝟏}& 1& 1& & & & & & 2^1=2\\ \mathrm{𝟐}& 1& 2& 1& & & & & 2^2=4\\ \mathrm{𝟑}& 1& 3& 3& 1& & & & 2^3=8\\ \mathrm{𝟒}& 1& 4& 6& 4& 1& & & 2^4=16\\ \mathrm{𝟓}& 1& 5& 10& 10& 5& 1& & 2^5=32\\ \mathrm{𝟔}& 1& 6& 15& 20& 15& 6& 1& 2^6=64\end{array}$

Soma de uma coluna

A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{n})+...+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{n})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k+1}{n+1})$.

$\begin{array}{cccccccc}& \mathrm{𝟎}& \mathrm{𝟏}& \mathrm{𝟐}& \mathrm{𝟑}& \mathrm{𝟒}& \mathrm{𝟓}& \mathrm{𝟔}\\ \mathrm{𝟎}& 1& & & & & & \\ \mathrm{𝟏}& 1& \underset{\_}{\bar{1}}& & & & & \\ \mathrm{𝟐}& 1& \underset{\_}{\bar{2}}& 1& & & & \\ \mathrm{𝟑}& 1& \underset{\_}{\bar{3}}& 3& 1& & & \\ \mathrm{𝟒}& 1& \underset{\_}{\bar{4}}& 6& 4& 1& & \\ \mathrm{𝟓}& 1& 5& 10& \underset{\_}{\overline{10}}& 5& 1& \\ \mathrm{𝟔}& 1& 6& 15& 20& 15& 6& 1\end{array}$

Portanto:$\begin{array}{ccccccccc}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1})& +& (\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1})& +& (\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})& +& (\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1})& =& (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\\ & & & & & & & & \\ 1& +& 2& +& 3& +& 4& =& 10\end{array}$

Simetria

O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se for escrito da seguinte forma:

$\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & 1\\ & 1& \\ 1& & 7\end{array}& \begin{array}{ccccccccc}& & & & 1& & & & \\ & & & 1& & 1& & & \\ & & 1& & 2& & 1& & \\ & 1& & 3& & 3& & 1& \\ 1& & 4& & 6& & 4& & 1\\ & 5& & 10& & 10& & 5& \\ 6& & 15& & 20& & 15& & 6\\ & 21& & 35& & 35& & 21& \end{array}& \begin{array}{ccc}& & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ 1& & \\ & 1& \\ 7& & 1\end{array}\end{array}$

Isso deve-se ao fato de que $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k})$

Soma de uma diagonal

Conhecendo as fórmulas $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{n})+...+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{n})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k+1}{n+1})$ (Soma de uma coluna) e $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-k})$ (Simetria) do triângulo de Pascal, pode-se encontrar a seguinte fórmula para soma de diagonais: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{1})+...+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k+1}{k})$.

$\begin{array}{cccccccc}& \mathrm{𝟎}& \mathrm{𝟏}& \mathrm{𝟐}& \mathrm{𝟑}& \mathrm{𝟒}& \mathrm{𝟓}& \mathrm{𝟔}\\ \mathrm{𝟎}& 1& & & & & & \\ \mathrm{𝟏}& \underset{\_}{\bar{1}}& 1& & & & & \\ \mathrm{𝟐}& 1& \underset{\_}{\bar{2}}& 1& & & & \\ \mathrm{𝟑}& 1& 3& \underset{\_}{\bar{3}}& 1& & & \\ \mathrm{𝟒}& 1& 4& 6& \underset{\_}{\bar{4}}& 1& & \\ \mathrm{𝟓}& 1& 5& 10& 10& \underset{\_}{\bar{5}}& 1& \\ \mathrm{𝟔}& 1& 6& 15& 20& \underset{\_}{\overline{15}}& 6& 1\end{array}$

Novas propriedades – Desigualdades

Em 2014 foram descobertas novas propriedades, envolvendo Desigualdades, quais sejam:

1- Em toda a infinita coluna central do Triângulo, na figura abaixo, o produto de dois de seus elementos é maior do que o produto de dois elementos pertencentes à mesma coluna central, localizados simetricamente entre eles. Por exemplo, na figura abaixo: 1 x 20 > 2 x 6, ou então, 2 x 20 > 6 x 6, ou ainda, 1 x 6 > 2 x 2. Isto vale para toda a coluna central.$\begin{array}{ccc}\begin{array}{ccc}& & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & 1\\ & 1& \\ 1& & 7\end{array}& \begin{array}{ccccccccc}& & & & 1& & & & \\ & & & 1& & 1& & & \\ & & 1& & 2& & 1& & \\ & 1& & 3& & 3& & 1& \\ 1& & 4& & 6& & 4& & 1\\ & 5& & 10& & 10& & 5& \\ 6& & 15& & 20& & 15& & 6\\ & 21& & 35& & 35& & 21& \end{array}& \begin{array}{ccc}& & \\ & & \\ & & \\ & & \\ & & \\ 1& & \\ & 1& \\ 7& & 1\end{array}\end{array}$

2- Dados dois elementos A e B da coluna central, o produto deles é maior do que o produto de dois elementos C e D pertencentes às diagonais que passam por A e por B, que estejam simetricamente localizados em relação a A e a B. Por exemplo, olhando novamente a figura acima: se A = 2 e B = 20, então:

2 x 20 > 3 x 10 > 4 x 4 > 1 x 5.

Se A = 1 e B = 20, então:

1 x 20 > 1 x 10 > 1 x 4 > 1 x 1.

Algoritmos

Python

Recursivo

def pascal_t(m,n):
    if m == 0 and n ==0:
        return 1
    elif n == -1 or m == -1:
        return 0
    else:
        return pascal_t(m-1, n-1) + pascal_t(m-1,n)

Programado

def pascal_tri(lines):
    t= [[0 for i in range(lines)] for i in range(lines)]
    for n in range(lines):
        for k in range(lines):
            if n == 0 and k == 0:
                t[n][k] = 1
            elif n > -1 and k > -1:
                t[n][k] = t[n-1][k-1] + t[n-1][k]
    return t

Java

public void Pascal(int n) {
    int nfilas = n;
    int[] a = new int[1];
    for (int i = 1; i <= nfilas; i++) {
        int[] x = new int[i];
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (j == 0 || j == (i - 1)) {
                x[j] = 1;
            } else {
                x[j] = a[j] + a[j - 1];
            }
            System.out.print(x[j] + " ");
        }
        a = x;
        System.out.println();
    }
}

Referências

• Predefinição:Citar livro

Ver também

• Blaise Pascal
• Binômio de Newton
• Pirâmide de Pascal

Predefinição:Blaise Pascal