Função polinomial

Gráfico de uma função polinomial

Em matemática, função polinomial é uma função $P$ que pode ser expressa da forma:

$P\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0{x}^0=$ $\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i,$

em que $n$ é um número inteiro não negativo e os números $a_0,a_1,...a_{n-1},a_n$ são constantes, chamadas de coeficientes do polinômio.

Grau de uma função polinomial

As funções polinomiais podem ser classificadas quanto a seu grau. O grau de uma função polinomial corresponde ao valor do maior expoente da variável do polinômio, ou seja, é o valor de $n$ da função $P\left(x\right)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i.$

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ polinômios de graus quaisquer. Sempre valem as seguintes leis:

• O grau de $f(x).g(x)$ é a soma do grau de $f(x)$ e o grau de $g(x);$
• Se $f(x)$ e $g(x)$ têm grau diferente, então o grau de $f(x)+g(x)$ é igual ao maior dos dois; e
• Se $f(x)$ e $g(x)$ têm o mesmo grau, então o grau de $f(x)+g(x)$ é menor ou igual ao grau de $f(x).$

Funções polinomiais de grau um

Gráfico de uma função do 1º grau

Aqui, $n=1.$ Por isso, os polinômios de grau 1 têm a forma $P\left(x\right)=a_0{x}^0+a_1{x}^1=a_0+a_{1}x.$

As funções deste tipo são chamadas de função afim. Se $a_0=0,$ chamamos esta função afim de linear.

Por exemplo, $f(x)=2x+1$ é uma função polinomial de grau um composta de dois monômios.

Funções polinomiais de grau dois

Gráfico de uma função do 2º grau

Uma função quadrática é definida como uma função que apresenta o expoente 2 como maior expoente das variáveis. O seu gráfico é constituído por uma parábola. É expressa por:

$f(x)=a{x}^2+bx+c.$

Por exemplo,

$y=4x^2+2x+1\to$ o grau é 2 e é composto de três monômios.

Funções polinomiais de outros graus

• $f(x)=2\to$ não há variável, mas pode-se considerar que o grau é zero. Esta é uma função constante.
• $f(x)=0\to$ neste caso, é conveniente dizer que não há grau, ou que o grau é negativo (menos infinito).
• $f(x)=(1/2)x^4-7x^3+(4/5)\to$ é uma função polinomial de grau 4. Neste caso: $a_0=4/5,a_1=0,a_2=0,a_3=-7,a_4=1/2.$

Função constante

Gráfico de uma função constante

Define-se função constante por :

Dado um número $k,$

$f(x)=k,\mathrm{\forall }x\in Dom(f)$

$Im(f)=\{k\}$

Ou seja, o valor da imagem será sempre o mesmo, independente do valor do $x.$

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo $x.$; Predefinição:Limpar

Polinômios especiais

• Polinómios de Bernstein
• Polinômio característico
• Polinômios de Laguerre
• Polinômios de Tchebychev
• Polinômios de Legendre
• Polinômios de Hermite
• Polinómio de Newton
• Polinômio de Hurwitz
• Polinômio de Lagrange
• Polinômio irredutível
• Polinômio homogêneo

Ver também

• Monômio
• Cálculo com polinômios
• Série de potências
• Coeficiente
• Divisão polinomial
• Fatoração polinomial
• Função racional
• Frações parciais
• Fórmulas de Viète
• Equação algébrica
• Teorema do resto
• Anel de polinômios
• Lema de Gauss
• Critério de Eisenstein
• Interpolação polinomial

Bibliografia

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Ligações externas

• Funções Polinomiais PUC minas