Polinômios de Hermite

Os polinômios de Hermite são um exemplo de polinômios ortogonais cujo principal campo de aplicação encontra-se na mecânica quântica, especialmente no estudo do oscilador harmônico unidimensional. São nomeados assim em homenagem a Charles Hermite.

Os cinco primeiros polinômios de Hermite (probabilísticos).

Definição

Os polinômios de Hermite ("polinômios de Hermite probabilísticos") são definidos por:

$H_n(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2/2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2/2}$

Ou, às vezes, por ("polinômios de Hermite físicos")

$H_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)=(-1{)}^n{e}^{x^2}\frac{d^n}{d{x}^n}{e}^{-x^2}$

Essas definições não são exatamente equivalentes: uma é o redimensionamento da outra:

$H_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)=2^{n/2}{H}_n^{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}}(\sqrt{2}x)$.

Os polinômios físicos podem ser escritos como:

$H_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)=(2x{)}^n-\frac{n(n-1)}{1!}(2x{)}^{n-2}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}(2x{)}^{n-4}-\dots$

Propriedades

Ortogonalidade

H_n(x) é um polinômio de grau n, com n = 0, 1, 2, 3 ... . Esses polinômios são ortogonais com relação à função peso

$e^{-x^2/2}$ (probabilidade)

ou

$e^{-x^2}$ (física)

ou seja,

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_n(x)H_m(x)e^{-x^2/2}dx$

ou

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{H}_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=n!2^n\sqrt{\pi }{\delta }_{𝑛𝑚}$ (física)

onde ${\delta }_{𝑛𝑚}$ é o delta de Kronecker, que é igual à unidade quando $n=m$ e nulo no caso contrário. Os polinômios probabilísticos são ortogonais em relação à função densidade de probabilidade normal.

Função geradora

$e^{2tx-t^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)t^n}{n!}$

Fórmulas de recorrência

Os polinômios de Hermite (na forma "física") satisfazem as seguintes relações de recorrência:

$H_{n+1}^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)=2x{H}_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)-2n{H}_{n-1}^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)$

${H^{\prime }}_n^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)=2n{H}_{n-1}^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(x)$

Decomposição numa série de funções

Qualquer função f contínua pode ser expressa como uma série infinita em termos dos polinômios de Hermite:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n{H}_n(x)=A_0{H}_0(x)+A_1{H}_1(x)+A_2{H}_2(x)+\dots$

Onde as constantes são dadas por:

$A_k=\frac{1}{2^{k}k!\sqrt{\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}f(x)H_k(x)dx$

Paridade dos polinômios

Os polinômios de Hermite satisfazem:

$H_n(-x)=(-1{)}^n{H}_n(x)$

Logo $H_n(x)$ é uma função par para um $n$ par, $n=\{0,2,4,...\}$, e é uma função ímpar para um $n$ ímpar, $n=\{1,3,5,...\}$.

Outras propriedades

$H_{2n-1}(0)=0$

$H_{2n}^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{s}}(0)=(-1{)}^n{2}^n(1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))$

Equação diferencial de Hermite

Os polinômios de Hermite são soluções da equação diferencial de Hermite:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-2x\frac{dy}{dx}+2ny=0$

Que na forma canônica pode ser escrita como:

$\frac{1}{e^{-x^2}}\frac{d}{dx}\left(e^{-x^2}\frac{dy}{dx}\right)+2ny=0$

Referência

• Predefinição:Citar livro