Polinômio de Lagrange

Em análise numérica, polinômio de Lagrange (nomeado por razão de Joseph-Louis de Lagrange) é o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange.

Definição

Dado um conjunto de k+1 pontos:

$(x_0,y_0),\dots ,(x_k,y_k)$

com todos x_j distintos, o polinômio de interpolação de um conjunto de pontos na forma de Lagrange é a combinação linear dos polinômios da base de Lagrange:

$L(x):=\sum _{j=0}^k{y}_j{l}_j(x)$,

com polinômios da base de Lagrange dados por:

$l_j(x):=\prod _{i=0,j\ne i}^k\frac{x-x_i}{x_j-x_i}=\frac{x-x_0}{x_j-x_0}\cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\cdots \frac{x-x_k}{x_j-x_k}$

Prova

Procuramos uma função que seja um polinômio L(x) de grau menor ou igual a k, com

$L(x_j)=y_{j}j=0,\dots ,k$

O polinômio de lagrange é a solução para o problema de interpolação.

Como podemos comprovar

1. ${\ell }_j(x)$ é um polinômio e tem grau k.
2. ${\ell }_i(x_j)={\delta }_{ij},0\le i,j\le k.$

Então, a função L(x) é um polinômio com grau menor ou igual a k e

$L(x_i)=\sum _{j=0}^k{y}_j{\ell }_j(x_i)=\sum _{j=0}^k{y}_j{\delta }_{ji}=y_i.$

Existe apenas uma única solução para o problema de interpolação, uma vez que a diferença de duas soluções seria um polinômio de grau menor ou igual a k e k+1 zeros. Isto somente é possível se a diferença for identicamente nula, então L(x) é o único polinômio que interpola os dados fornecidos.

Polinômios de Lagrange

Como pudemos perceber, a resolução de um problema de interpolação também pode ser entendido como a busca da solução de um sistema matricial de álgebra linear. Além disso, vimos que a utilização do polinômio em base canônica leva a uma matriz de Vandermonde mal condicionada.

Afim de resolver este problema, o matemático Joseph-Louis de Lagrange escolheu uma outra base que melhorasse o condicionamento da matriz. A ideia foi diagonalizá-la, obtendo uma matriz identidade cuja resolução do sistema linear é simples e direta. Dados n pontos de abscissas $(x_j){|}_1^n$ , o polinômio interpolador de Lagrange ,Pn(x), será obtido através de uma base de polinômios de grau menor ou igual n, que satisfaçam as seguintes condições:

                                                      $L_k(x_j)=\left\{\begin{array}{c}1,k=j\\ 0,k\ne j\end{array}\right\}$(1)

Observe que vamos obter uma série de k polinômios de tal modo que cada um deles se anula em todos os pontos conhecidos com exceção de um em que k=j, de forma que cada polinômio ajuste o valor em um ponto, sendo funções independentes entre si.

$L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3{)}^{*}..{.}^{*}(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3{)}^{*}..{.}^{*}(x_0-x_n)}$

$L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3{)}^{*}..{.}^{*}(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3{)}^{*}..{.}^{*}(x_1-x_n)}$

$L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3{)}^{*}..{.}^{*}(x-x_n)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3{)}^{*}..{.}^{*}(x_2-x_n)}$

                                 $⋮$

$L_n(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2{)}^{*}..{.}^{*}(x-x_{n-1})}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)(x_n-x_2{)}^{*}..{.}^{*}(x_n-x_{n-1})}$

Assim, os polinômios de Lagrange podem ser descritos pela fórmula geral:

$L_k(x)=\prod _{1\le j\ne k\le n}\frac{(x_{-}{x}_j)}{(x_k-x_j)}$

O Polinômio interpolador de Lagrange é dado pela combinação linear dos Lk(x) polinômios base:

$P_0(x_0)=a_0{L}_0(x_0)+a_1{L}_1(x_0)+...+a_n{L}_n(x_0)=y_0$

$P_1(x_1)=a_0{L}_0(x_1)+a_1{L}_1(x_1)+...+a_n{L}_n(x_1)=y_1$

                             $⋮$

$P_n(x_n)=a_0{L}_0(x_n)+a_1{L}_1(x_n)+...+a_n{L}_n(x_n)=y_n$

Aplicando a condição (1) temos:

$P_0(x_0)=a_0^{*}1+a_1^{*}0+...+a_n^{*}0=y_0=a_0$

$P_1(x_1)=a_0^{*}0+a_1^{*}1+...+a_n^{*}0=y_1=a_1$

                            $⋮$

$P_n(x_n)=a_0^{*}0+a_1^{*}0+...+a_n^{*}1=y_n=a_n$

Na forma matricial:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0\cdots & 0\\ 0& 1\cdots & 0\\ ⋮& ⋮\ddots & ⋮\\ 0& 0\cdots & 1\end{array}\right]$  $\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$

Aplicando o polinômio interpolador de Lagrange obtemos uma matriz identidade bem condicionada em que o sistema linear é prontamente resolvido.

Interpretação geométrica

Dado o conjunto de pontos (2,1), (3,6), (4,4) e (5,5) desejamos construir um polinômio de Lagrange que passe por estes pontos.

Primeiro, construímos os L_k polinômios de Lagrange, perceba que somente um polinômio de Lagrange é não nulo em cada ponto. Depois construímos os P_n polinômios de Lagrange, observe que cada polinômio ajusta um ponto do conjunto, sendo igual ao valor da ordenada do ponto. E usando a fórmula geral construímos o polinômio P de Lagrange que passa por todos os pontos dados:

Representação dos P_n polinômios Lagrange

Referências

• Borche, Alejandro.Métodos numéricos. Rio Grande do Sul: Editora UFRGS,2008.Página 117.
• Albrecht, Peter.Análise Numérica, um curso moderno. Rio de Janeiro: PUC-RJ, Livros técnicos e científicos S.A., 1973. Página 129.
• Predefinição:Link mantido pelo projeto REAMAT da Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Veja também

• Quocientes de determinantes