Matriz identidade

Modelo Matriz Identidade

$I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Modelo de uma matriz identidade

Em matemática, matriz identidade é uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a $1$. É denotada por $I_n$, onde $n$ é a ordem da matriz, ou simplesmente por $I$. Ou seja, a matriz identidade $I_n$ tem a seguinte forma:

$I_n={\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]}_{n\times n}$

A matriz $I_n$ é o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Mais precisamente, para qualquer matriz $A$, as seguintes igualdades são válidas:

$A_{m,n}{I}_n=A_{m,n}$

$I_m{A}_{m,n}=A_{m,n}$

Definição

A matriz $I_n=[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{n,n}$, onde:

$a_{i,j}=\{\begin{array}{cc}1& ,\text{se }i=j\\ 0& ,\text{se }i\ne j\end{array}$

é chamada de matriz identidade de ordem $n$.

Notações alternativas

Existem outras notações alternativas para se representar uma matriz identidade. São elas:

• A notação de matrizes diagonais: $I_n=\text{diag}(1;1;1;...;1)$
• A notação do Delta de Kronecker: $I_n={\left({\delta }_{x,y}\right)}_n$

Matriz inversa

Predefinição:Artigo principal O conceito de matriz identidade é relacionado ao conceito de matriz inversa. Uma matriz multiplicada pela sua inversa é igual à matriz identidade.

$A\cdot A^{-1}=I$

A matriz inversa de uma matriz identidade é a própria matriz identidade, ou seja:

$I=I^{-1}$

Matriz transposta

Predefinição:Artigo principal A matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

$I=I^t$

Matriz identidade refletida

Multiplicando-se uma matriz qualquer pela matriz identidade refletida há a reflexão horizontal ou vertical da matriz. A matriz identidade refletida possui todos os elementos iguais a zero, exceto os da diagonal secundária, que são iguais a 1.

Considerando-se uma matriz A:

$A_{x,y}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,y}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,y}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{x,1}& a_{x,2}& \cdots & a_{x,y}\end{array}\right]$

Quando a matriz A é multiplicada pela matriz identidade refletida (com A à esquerda), há reflexão horizontal da matriz A:

$A_{x,y}\cdot R_y=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,y}& a_{1,y-1}& \cdots & a_{1,1}\\ a_{2,y}& a_{2,y-1}& \cdots & a_{2,1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{x,y}& a_{x,y-1}& \cdots & a_{x,1}\end{array}\right]$

Quando a matriz identidade refletida é multiplicada pela matriz A (com A à direita), há reflexão vertical da matriz A:

$R_x\cdot A_{x,y}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{x,1}& a_{x,2}& \cdots & a_{x,y}\\ a_{x-1,1}& a_{x-1,2}& \cdots & a_{x-1,y}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,y}\end{array}\right]$

Ver também

• Matriz transposta
• Matriz inversa
• Matriz quadrada
• Matriz diagonal