Matriz inversa

Predefinição:Mais notas Uma matriz quadrada $A$ é dita invertível (ou não singular) quando existe outra matriz denotada $A^{-1}$ tal que

$A^{-1}\cdot A=I$

e

$A\cdot A^{-1}=I$

onde $I$ é a matriz identidade.

Propriedades

Considerando-se $A$ uma matriz invertível, esta possui as seguintes propriedades:

1. A matriz inversa é única. Esta propriedade é decorrente de o conjunto das matrizes quadradas nxn com a operação binária de multiplicação de matrizes formar um monoide.
2. A matriz inversa de uma matriz invertível é também invertível, sendo que a inversa da inversa de uma matriz é igual à própria matriz: $A={\left(A^{-1}\right)}^{-1}$
3. A matriz transposta de uma matriz invertível é também invertível, e a inversa da transposta é a transposta da inversa: $(A^t{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^t$, ou seja, $\mathrm{\exists }{\left(A^{-1}{A}^t\right)}^{-1}$
4. A inversa de uma matriz multiplicada por um número (diferente de zero) é igual à matriz inversa multiplicada pelo inverso desse número, ou seja, ${(n\cdot A)}^{-1}=n^{-1}\cdot A^{-1}$
5. O inverso do produto de matrizes invertíveis é igual aos produtos das inversas dessas matrizes com a ordem trocada, ou seja, ${(A_1{A}_2{A}_3...A_n)}^{-1}=A_n^{-1}...A_3^{-1}{A}_2^{-1}{A}_1^{-1}$
6. Em geral, uma matriz quadrada sobre um anel comutativo é invertível se e somente se o seu determinante é uma unidade do anel (se $\det A\ne 0.$)

Pré-multiplicação

A pré-multiplicação é útil quando se quer isolar uma matriz em um lado de uma equação. Por exemplo, sejam A, B e C matrizes, com A invertível, tais que

$C=AB.$

Para expressar a matriz B em termos das outras duas, basta multiplicar ambos os membros da igualdade pela inversa de A:

$B=A^{-1}AB=A^{-1}C.$

Inversa da matriz identidade

Predefinição:Artigo principal A matriz inversa de uma matriz identidade é sempre igual à própria matriz identidade.

$I^{-1}=I$

Isso ocorre pois:

$I\cdot I=I$

Determinação da inversa

Aplicação da definição de inversa

Este método de procura da inversa consiste em partir de uma matriz quadrada genérica, com incógnitas em vez de valores e aplicar a seguinte propriedade:

${𝐀}^{-1}\cdot 𝐀=I$

Exemplo

Se queremos descobrir a inversa da matriz $𝐀$ de dimensões 2 x 2 representada abaixo recorremos a uma matriz genérica que nos permitirá multiplicar as matrizes:

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]$

${𝐀}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

Associamos símbolos arbitrariamente à inversa da nossa matriz original – nosso objectivo é determinar os valores de a, b, c e d. Para isso aplicaremos a definição de inversa:

$\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Resolvendo essa multiplicação de matrizes somos conduzidos a um sistema de equações:

$\{\begin{array}{c}2a+c=1\\ 2b+d=0\\ 4a+3c=0\\ 4b+3d=1\end{array}$

Logo:

${𝐀}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& \frac{-1}{2}\\ -2& 1\end{array}\right]$

No caso de a matriz que queremos inverter não ser na realidade invertível, chegaríamos a um sistema impossível.

Solução analítica

Escrever a transposta da matriz dos cofatores, conhecida como matriz adjunta, também pode ser uma forma eficiente de se calcular a inversa de matrizes pequenas, mas esse método recursivo é ineficiente para matrizes grandes. Para obter a inversa, calcula-se a matriz dos cofatores:

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}𝐀\end{array}\right|}{\left({𝐂}^{\mathrm{T}}\right)}_{ij}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}𝐀\end{array}\right|}\left({𝐂}_{ji}\right)=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}𝐀\end{array}\right|}\left(\begin{array}{cccc}{𝐂}_{11}& {𝐂}_{21}& \cdots & {𝐂}_{n1}\\ {𝐂}_{12}& {𝐂}_{22}& \cdots & {𝐂}_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {𝐂}_{1n}& {𝐂}_{2n}& \cdots & {𝐂}_{nn}\end{array}\right)$

em que |A| é o determinante de A, C_ij é a matriz dos cofatores, e C^T representa a matriz transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta).

Para a maioria das aplicações práticas, não é necessário inverter uma matriz para resolver um sistema de equações lineares; no entanto, para que haja uma solução única, é preciso que a matriz envolvida seja invertível.

Técnicas de decomposição tais como a decomposição LU são muito mais rápidas do que a inversão, e foram desenvolvidos diversos algoritmos para tipos especiais de sistemas lineares.

Inversão de matrizes 2×2

A equação de cofatores listada acima produz o seguinte resultado no caso particular das matrizes invertíveis de ordem 2. A inversão dessas matrizes pode ser feita facilmente como segue:

${𝐀}^{-1}={\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right].$

Logo, inverte-se a ordem dos elementos da diagonal principal e troca-se o sinal dos elementos da diagonal secundária. Isso é possível porque 1/(ad-bc) é o inverso do determinante da matriz em questão, e a mesma estratégia pode ser usada para matrizes de outros tamanhos.

Aplicação da eliminação de Gauss-Jordan

Uma outra forma de determinar a inversa duma matriz é utilizando a eliminação de Gauss-Jordan .

Escrevem-se lado a lado a matriz que queremos inverter e a matriz identidade. De seguida, aplicam-se sucessivas operações elementares sobre as linhas da matriz a inverter, de modo a transformá-la na matriz identidade, aplicando as mesmas operações à matriz identidade. No final do processo, a matriz identidade tornou-se a matriz inversa procurada. Simbolicamente:

$[A|I]⟶[I|A^{-1}].$

Exemplo: Partimos da mesma matriz do exemplo anterior:

$\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\overrightarrow{L_2\leftarrow (L_2-2L_1)}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right]\overrightarrow{L_1\leftarrow (L_1-L_2)}\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -2& 1\end{array}\right]\overrightarrow{L_1\leftarrow (L_1/2)}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ -2& 1\end{array}\right]$

A última matriz é a inversa procurada:

$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ -2& 1\end{array}\right]$

Determinação da matriz inversa pela matriz adjunta

Existe uma maneira de calcular a matriz inversa utilizando-se da matriz adjunta (que é a transposta da matriz de cofatores). Este método não é muito eficiente, porém pode vir a ser útil quando se conhece os determinantes das submatrizes.

Para calcular um cofator, utilizaremos da seguinte fórmula:

$C_{i,j}=(-1{)}^{i+j}.det(A_{-i,-j})$

Onde i é a linha, j a coluna, e $det(A_{-i,-j})$ é o determinante da submatriz que exclui a linha i e a coluna j.

Após criarmos uma matriz de cofatores, calculamos sua adjunta, que nada mais é que a transposta da matriz de cofatores. Em linguagem matemática, temos:

$Adj(A)=(cof(A){)}^t,$

e então aplicamos a seguinte fórmula:

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}\cdot \text{adj}(𝐀).$

então teremos a matriz inversa de A. Exemplo:

Seja :$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]$

Seus cofatores serão:

$C_{1,1}=(-1{)}^{1+1}.det(A_{-1,-1})=1.3=3$

$C_{1,2}=(-1{)}^{1+2}.det(A_{-1,-2})=(-1).4=-4$

$C_{2,1}=(-1{)}^{2+1}.det(A_{-2,-1})=(-1).1=-1$

$C_{2,2}=(-1{)}^{2+2}.det(A_{-2,-2})=1.2=2$

Então teremos a matriz de cofatores

$cof(A)=\left[\begin{array}{cc}3& -4\\ -1& 2\end{array}\right],$ e sua adjunta será a transposta dessa matriz, portanto:

$adj(A)=(cof(A){)}^t=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -4& 2\end{array}\right],$ e como $det(A)=2,$ temos:

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{2}.\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -4& 2\end{array}\right].$ .

Matriz em blocos

Estas fórmulas, desenvolvidas por Hans Bolz (1923) e Tadeusz Banachiewicz (1937), permitem inverter uma matriz escrita em forma de blocos:

${\left[\begin{array}{cc}𝐀& 𝐁\\ 𝐂& 𝐃\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{𝐀}^{-1}+{𝐀}^{-1}𝐁(𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}{𝐂𝐀}^{-1}& -{𝐀}^{-1}𝐁(𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}\\ -(𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}{𝐂𝐀}^{-1}& (𝐃-{𝐂𝐀}^{-1}𝐁{)}^{-1}\end{array}\right]$

ou:

${\left[\begin{array}{cc}𝐀& 𝐁\\ 𝐂& 𝐃\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}& -(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}{𝐁𝐃}^{-1}\\ -{𝐃}^{-1}𝐂(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}& {𝐃}^{-1}+{𝐃}^{-1}𝐂(𝐀-{𝐁𝐃}^{-1}𝐂{)}^{-1}{𝐁𝐃}^{-1}\end{array}\right]$

Os blocos podem ser de qualquer tamanho, desde que A e D sejam matrizes quadradas.