Matriz adjunta

Em álgebra linear uma matriz adjunta de uma matriz quadrada é a transposta de sua matriz dos cofatores.

A é a matriz transposta da matriz que se obtém substituindo cada termo $A_{i,j}$ pelo determinante da matriz resultante de retirar de A a linha $i$ e a coluna $j$ (isso é, o determinante menor) multiplicado por ${(-1)}^{i+j}$ (isso é, alternando os sinais).

Exemplos

Matrizes 2x2

Para toda matriz de ordem 2:

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

$\text{adj}(𝐀)=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

Construindo a adjunta passo-a-passo

Vamos deduzir a adjunta da matriz representada abaixo:

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

Primeiro calculamos a matriz dos determinantes menores, tradicionalmente representada por "$𝐌$".

$𝐌=\left[\begin{array}{cc}\det d& \det c\\ \det b& \det a\end{array}\right]$

Agora multiplicamos todo ${𝐌}_{i,j}$ por $(-1{)}^{i+j}$ para obter a matriz dos cofactores, tradicionalmente representada por "$𝐂$". Em termos mais simples, invertemos os sinais de todos aqueles termos cuja soma "$i+j$" é ímpar.

$\text{C}(𝐀)=\left[\begin{array}{cc}d& -c\\ -b& a\end{array}\right]$

Em seguida, transpomos a matriz para chegar a matriz adjunta:

$\text{adj}(𝐀)=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

Matrizes 3x3

Para toda matriz na forma:

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$

Fazendo a matriz dos cofatores de A, temos que:

$\text{cof}(A)=\left[\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}b& c\\ h& i\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}a& c\\ g& i\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}a& b\\ g& h\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}b& c\\ e& f\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}a& c\\ d& f\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\end{array}\right|\end{array}\right]$

e, transpondo, temos a matriz adjunta de A:

$\text{adj}(A)=\left[\begin{array}{ccc}+\left|\begin{array}{cc}e& f\\ h& i\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}b& c\\ h& i\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}b& c\\ e& f\end{array}\right|\\ & & \\ -\left|\begin{array}{cc}d& f\\ g& i\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}a& c\\ g& i\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}a& c\\ d& f\end{array}\right|\\ & & \\ +\left|\begin{array}{cc}d& e\\ g& h\end{array}\right|& -\left|\begin{array}{cc}a& b\\ g& h\end{array}\right|& +\left|\begin{array}{cc}a& b\\ d& e\end{array}\right|\end{array}\right]$

Onde as barras verticais simbolizam determinante.

Propriedades

As seguintes propriedades são válidas para todas as matrizes $K^{n\times n}$

$\mathrm{adj}(I)=I$, em que $I$ é a matriz identidade.

$\mathrm{adj}(0)=0$, em que 0 é a matriz nula.

$\mathrm{adj}(AB)=\mathrm{adj}(B)\cdot \mathrm{adj}(A)$

$\mathrm{adj}(A^T)=\mathrm{adj}(A{)}^T$

$A\cdot \mathrm{adj}(A)=\mathrm{adj}(A)\cdot A=\det (A)\cdot I$

$\mathrm{adj}(\lambda A)={\lambda }^{n-1}\mathrm{adj}(A)$ em que $\lambda \in ℝ$

$\det (\mathrm{adj}(A))=(\det A{)}^{n-1}$

$\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(A))=(\det A{)}^{n-2}A$, para o caso particular de $A$ ser $2\times 2$ resulta em $\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(A))=A$

Aplicações da adjunta

Determinação da matriz inversa

Com a matriz adjunta pode-se calcular a inversa de uma matriz de uma maneira diferente da tradicional, embora não mais rápida. A forma mais eficiente de obter a matriz inversa é através da eliminação de Gauss-Jordan. Para toda matriz invertível A:

${𝐀}^{-1}=\frac{\text{adj}(𝐀)}{\det (𝐀)}.$

Logo, para toda matriz invertível de ordem 2:

${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right].$

Observação: Alguns matemáticos desaconselham a notação acima em favor da seguinte:

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}\cdot \text{adj}(𝐀).$

Vale reforçar que só é invertível a matriz que é quadrada e cujo determinante é diferente de zero.

Ver também

• Teorema de Laplace (simplificação de determinantes)
• Regra de Cramer
• Fórmula de Jacobi (diferenciação de determinantes)

Predefinição:Classes de matriz