Menor (álgebra linear)

Em álgebra linear, um menor de uma matriz A é o determinante de alguma matriz quadrada, obtida a partir de A pela remoção de uma ou mais de suas linhas ou colunas. Menores obtidos pela remoção de exatamente uma linha e uma coluna de matrizes quadradas (primeiros menores) são requeridos para calcular cofatores de matrizes, que por sua vez, são úteis para calcular o determinante e a inversa de matrizes quadradas.

Definição e ilustração

Primeiros menores

Se A é uma matriz quadrada, então o menor da entrada na i-ésima linha e j-ésima coluna (também chamado de menor (i,j), ou de primeiro menor^[1]) é o determinante da submatriz formada ao eliminar a i-ésima linha e a j-ésima coluna. Este número é geralmente indicado por M_i,j. O cofator (i,j) é obtido multiplicando-se o menor por $(- 1)^{i + j} .$

Para ilustrar essas definições, considere a seguinte matriz 3 por 3,

$[\begin{matrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ - 1 & 9 & 11 \end{matrix}]$

Para calcular o menor M₂₃ e o cofactor C₂₃, encontra-se o determinante da matriz que resulta ao remover a linha 2 e a coluna 3 da matriz acima.

$M_{23} = \det [\begin{matrix} 1 & 4 & ◻ \\ ◻ & ◻ & ◻ \\ - 1 & 9 & ◻ \end{matrix}] = \det [\begin{matrix} 1 & 4 \\ - 1 & 9 \end{matrix}] = (9 - (- 4)) = 13$

Assim, o cofator da entrada (2,3) é

$C_{23} = (- 1)^{2 + 3} (M_{23}) = - 13 .$

Definição geral

Seja A uma matriz m × n e k um número inteiro com 0 < k ≤ m, e k ≤ n. Um menor k × k de A, também chamado de determinante menor de ordem k de A ou, se $m = n,$ (n-k):ésimo determinante menor de A, frequentemente omitindo a palavra "determinante" e às vezes substituindo a palavra "ordem" por "grau", é o determinante de uma matriz k × k obtida de A eliminando m − k linhas e n − k colunas. Às vezes o termo é usado para se referir à matriz k × k obtida a partir de A como acima (excluindo m − k linhas e n − k colunas), mas ela deveria ser chamada apenas de submatriz (quadrada) de A, deixando o termo "menor" para se referir ao determinante desta matriz. Para uma matriz A como acima, há um total de $(\binom{m}{k}) \cdot (\binom{n}{k})$ menores de tamanho k × k. Um menor de ordem zero é muitas vezes definido como sendo 1. Para uma matriz quadrada, o zerésimo menor é apenas o determinante da matriz.^[2]^[3]

Sejam $1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq m,$ $1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{k} \leq n$ sequências ordenadas (em ordem natural, como geralmente é assumido ao falar de menores, salvo indicação em contrário) de índices, e denote-as por $I$ e $J,$ respectivamente. O menor $\det ((A_{i_{p}, j_{q}})_{p, q = 1, \dots, k})$ correspondente a estas escolhas de índices é denotado por $\underset{I, J}{\det} A$ ou $[A]_{I, J}$ ou $M_{I, J}$ ou $M_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}, j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k}}$ ou $M_{(i), (j)}$ (em que o (i) $(i)$ denota a sequência de índices I $I,$ etc.), dependendo da fonte. Também há dois tipos de notações usadas na literatura: por menor associado às sequências ordenadas de índices I e J, alguns autores^[4] querem dizer o determinante da matriz que é formada como acima, pegando os elementos da matriz original das linhas cujos índices estão em I e cujas colunas estão em J, enquanto que outros autores se referem a um menor associado a I e J como sendo o determinante da matriz formada a partir da matriz original removendo as linhas em I e as colunas em J.^[2] Deve-se sempre checar a fonte consultada para saber qual convenção é utilizada. Neste artigo, utiliza-se a definição inclusiva, escolhendo os elementos das linhas de I e colunas de J. A exceção é o primeiro menor ou o menor (i,j) descrito acima; neste caso, a notação exclusiva $M_{i, j} = \det ({(A_{p, q})}_{p \neq i, q \neq j})$ é padrão em toda a literatura e também é usada neste artigo.

Complemento

O complemento B_{ijk...,pqr...}, de um menor, M_{ijk...,pqr...}, de uma matriz quadrada, A, é formado pelo determinante da matriz A da qual todas as linhas (ijk...) e colunas (pqr...) associadas com M_{ijk...,pqr...} foram removidas. O complemento do primeiro menor de um elemento a_ij é apenas esse elemento.^[5]

Aplicações de menores e cofatores

Expansão do determinante por cofatores

Predefinição:Artigo principal Os cofatores aparecem com destaque na fórmula de Laplace para a expansão de determinantes, que é um método para calcular grandes maiores determinantes em função de determinantes menores. Dado uma matriz $(a_{i j}),$ de ordem $n \times n,$ o determinante de A (representado por det(A)) pode ser escrito como a soma dos cofatores de qualquer linha ou coluna da matriz multiplicados pelas entradas que os geraram. Em outras palavras, a expansão por cofatores ao longo da jésima coluna é:

$\det (𝐀) = a_{1 j} C_{1 j} + a_{2 j} C_{2 j} + a_{3 j} C_{3 j} + . . . + a_{n j} C_{n j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}$

A expansão por cofatores ao longo da iésima linha resulta em:

$\det (𝐀) = a_{i 1} C_{i 1} + a_{i 2} C_{i 2} + a_{i 3} C_{i 3} + . . . + a_{i n} C_{i n} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} C_{i j}$

Inversa de uma matriz

Pode-se escrever a inversa de uma matriz invertível calculando-se os cofatores por meio da regra de Cramer, como segue. A matriz formada por todos os cofatores de uma matriz quadrada A é chamada de matriz de cofatores (também chamada de comatriz):

$𝐂 = [\begin{matrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1 n} \\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C_{n 1} & C_{n 2} & \dots & C_{n n} \end{matrix}]$

Então a inversa de A é a transposta da matriz de cofatores vezes o recíproco do determinante de A:

$𝐀^{- 1} = \frac{1}{\det (𝐀)} 𝐂^{𝖳} .$

A transposta da matriz de cofatores é chamada de matriz adjunta (também considerada como a adjunta clássica) de A.

A fórmula acima pode ser generalizada da seguinte forma: Sejam $1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq n,$ $1 \leq j_{1} < j_{2} < \dots < j_{k} \leq n$ sequências ordenadas (na ordem natural) de índices (aqui, A é uma matriz $n \times n$ ). Então

$[𝐀^{- 1}]_{I, J} = \pm \frac{[𝐀]_{J^{'}, I^{'}}}{\det 𝐀},$ em que $I^{'}, J^{'}$ denotam as sequências ordenadas de índices (os índices estão na ordem natural de magnitude como acima) complementares a $I, J,$ de modo que cada índice $1, \dots, n$ aparece exatamente uma vez em $I$ ou em $I^{'},$ mas não em ambos (analogamente para $J$ e $J^{'}$ ) e $[𝐀]_{I, J}$ denota o determinante da submatriz de A formada escolhendo as linhas do conjunto $I$ de índices e as colunas do conjunto $J$ de índices. Além disso, $[𝐀]_{I, J} = \det ((A_{i_{p}, j_{q}})_{p, q = 1, \dots, k}) .$ Uma demonstração simples é dada em termos do produto wedge. De fato,

$[𝐀^{- 1}]_{I, J} (e_{1} \land \dots \land e_{n}) = \pm (𝐀^{- 1} e_{j_{1}}) \land \dots \land (𝐀^{- 1} e_{j_{k}}) \land e_{i'_{1}} \land \dots \land e_{i'_{n - k}},$

em que $e_{1}, \dots, e_{n}$ são os vetores da base. Fazendo a ação de $𝐀$ comem ambos os membros, obtém-se

$[𝐀^{- 1}]_{I, J} \det 𝐀 (e_{1} \land \dots \land e_{n}) = \pm (e_{j_{1}}) \land \dots \land (e_{j_{k}}) \land (𝐀 e_{i'_{1}}) \land \dots \land (𝐀 e_{i'_{n - k}}) = \pm [𝐀]_{J^{'}, I^{'}} (e_{1} \land \dots \land e_{n}) .$

Pode-se verificar que o sinal é $(- 1)^{\sum_{s = 1}^{k} i_{s} - \sum_{s = 1}^{k} j_{s}}$ e é determinado pela soma dos elementos em $I, J .$

Outras aplicações

Dada uma matriz m × n matriz com entradas reais (ou entradas em qualquer outro corpo) e posto r, então existe pelo menos um menor r × r não nulo, tal que todos os menores de ordem superior são nulos.

Será utilizada a seguinte notação para os menores: se A é uma matriz m × n, I é um subconjunto de {1,...,m} com k elementos e J é um subconjunto de {1,...,n} com k elementos, então escreve-se [A]_I,J para indicar o menor k × k de A que corresponde às linhas com o índice em I e as colunas com índice em J.

Se I = J então [A]_I,J é considerado um menor principal.
Se a matriz que corresponde a um menor principal é uma parte quadrada da região superior esquerda da matriz maior (ou seja, é composta de elementos da matriz com linhas e colunas de 1 a k), então o menor principal é chamado de menor principal líder (de ordem de k) ou menor (principal) de canto (de ordem de k).^[3] Para uma matriz quadrada n × n, existem n menores principais líderes.
Um menor básico de uma matriz é o determinante de uma submatriz quadrada que é de tamanho maximal com determinante diferente de zero.^[3]
Para matrizes Hermitiana, os menores principais líderes podem ser usados para testar se a matriz é positiva definida e os menores principais podem ser usados para testar se é positiva semidefinida. Ver critério de Sylvester para mais detalhes.

Tanto a fórmula para amultiplicação matricial ordinária e a fórmula de Cauchy-Binet para o determinante do produto de duas matrizes são casos especiais do seguinte fato geral sobre os menores de um produto de duas matrizes. Suponha que A é uma matriz m × n, B é uma matriz n × p, I é um subconjunto de {1,...,m} com k elementos e J é um subconjunto de {1,...,p}, com k elementos. Então $[𝐀 𝐁]_{I, J} = \sum_{K} [𝐀]_{I, K} [𝐁]_{K, J}$ em que a soma se estende sobre todos os subconjuntos K de {1,...,n} com k elementos. Esta fórmula é uma simples extensão da fórmula de Cauchy-Binet.

Abordagem da álgebra multilinear

Em álgebra multilinear é dado um tratamento algébrico, mais sistemático, do conceito de menor usando produto wedge: os k-menores de uma matriz são as entradas na k-ésima aplicação potência exterior.

Se é feito um produto wedge com k colunas de uma matriz de cada vez, os menores k × k aparecem como as componentes dos k-vetores resultantes. Por exemplo, os menores 2 × 2 da matriz $(\begin{matrix} 1 & 4 \\ 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ são −13 (para as duas primeiras linhas), −7 (para a primeira e última linha), e 5 (para as duas últimas linhas). Agora, considere o produto wedge $(𝐞_{1} + 3 𝐞_{2} + 2 𝐞_{3}) \land (4 𝐞_{1} - 𝐞_{2} + 𝐞_{3})$ em que as duas expressões correspondem às duas colunas de nossa matriz. Usando as propriedades do produto wedge, mais especificamente o fato dele de que ele é bilinear e que $𝐞_{i} \land 𝐞_{i} = 0$ e $𝐞_{i} \land 𝐞_{j} = - 𝐞_{j} \land 𝐞_{i},$ a expressão pode ser simplificada para $- 13 𝐞_{1} \land 𝐞_{2} - 7 𝐞_{1} \land 𝐞_{3} + 5 𝐞_{2} \land 𝐞_{3}$ em que os coeficientes coincidem com os menores calculados anteriormente.

Uma observação sobre as diferentes notações

Em alguns livros ^[6] é utilizado o termo adjunto em vez de cofator. Além disso, ele é indicado por A_ij e definido da mesma forma que o cofator: $𝐀_{i j} = (- 1)^{i + j} 𝐌_{i j}$

Usando esta notação, a matriz inversa é escrita desta forma: $𝐀^{- 1} = \frac{1}{\det (A)} [\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{matrix}]$

Tenha em mente que o adjunto não é a adjunta. Na terminologia moderna, a "adjunta" de uma matriz se refere mais frequentemente ao operador adjunto correspondente.

Ver também

Submatriz

Referências

↑ Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Teoria de Equações: com uma Introdução à Teoria de Binário Forma Algébrica.
↑ ^2,0 ^2,1 Elementares de Álgebra Matricial (Terceira edição), Franz E. Hohn, A Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Menor.
↑ Álgebra Linear e Geometria, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
↑ Bertha Jeffreys, Métodos de Física Matemática, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.
↑ Felix Gantmacher, Teoria de matrizes (1ª ed., originalmente em russo), Moscou: State Publishing House de literatura técnica e teórica, 1953, p.491,

Ligações externas

MIT Álgebra Linear Palestra sobre Cofatores no Google Vídeo, do MIT OpenCourseWare
PlanetMath entrada de Cofatores
Springer Enciclopédia de Matemática entrada para Menores

[1] Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Teoria de Equações: com uma Introdução à Teoria de Binário Forma Algébrica.

[Não_nomeado-y0pW-1-2] 2,0 ^2,1 Elementares de Álgebra Matricial (Terceira edição), Franz E. Hohn, A Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1

[Não_nomeado-y0pW-2-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Menor.

[4] Álgebra Linear e Geometria, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9

[5] Bertha Jeffreys, Métodos de Física Matemática, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.

[6] Felix Gantmacher, Teoria de matrizes (1ª ed., originalmente em russo), Moscou: State Publishing House de literatura técnica e teórica, 1953, p.491,

[1]

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[3]

[4]

[5]

[6]

Menor (álgebra linear)

Índice

Definição e ilustração

Primeiros menores

Definição geral

Complemento

Aplicações de menores e cofatores

Expansão do determinante por cofatores

Inversa de uma matriz

Outras aplicações

Abordagem da álgebra multilinear

Uma observação sobre as diferentes notações

Ver também

Referências

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