Produto de matrizes

Em matemática, o produto de duas matrizes é definido somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se A é uma matriz m×n (A também pode ser denotada por $A_{m, n}$ ) e B é uma matriz n×p, então seu produto é uma matriz m×p^[1] definida como AB (ou por A · B). O elemento de cada entrada $c_{i j}$ da matriz AB (o qual denotaremos por $(A B)_{i j}$ ) é dado pelo produto da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B^[2], ou seja,

$(A B)_{i j} = \sum_{r = 1}^{n} a_{i r} b_{r j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i n} b_{n j}$ para cada par i e j com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p.

Calculando diretamente a partir da definição

A figura à esquerda mostra como calcular o elemento (1,2) e o elemento (3,3) de AB se A é uma matriz 4×2, e B é uma matriz 2×3. Elementos de cada matriz são postos par a par na direcção das setas; cada par é multiplicado e os produtos são somados. A posição do número resultante em AB corresponde à linha e coluna que foi considerada.

$(A B)_{1, 2} = \sum_{r = 1}^{2} a_{1, r} b_{r, 2} = a_{1, 1} b_{1, 2} + a_{1, 2} b_{2, 2}$ $(A B)_{3, 3} = \sum_{r = 1}^{2} a_{3, r} b_{r, 3} = a_{3, 1} b_{1, 3} + a_{3, 2} b_{2, 3}$

Propriedades

Multiplicação de matrizes não é em geral comutativa, ou seja, AB ≠ BA (exceto em casos especiais). Eis um exemplo:

Sejam $A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ e $B = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] .$ Note que

$A \cdot B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix}]$

$B \cdot A = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ e AB ≠ BA.

Quando AB = BA, diz-se que A e B comutam^[3].

Embora a multiplicação de matrizes não seja comutativa, os determinantes de AB e BA são sempre iguais (se A e B são matrizes quadradas de dimensões iguais). Veja o artigo sobre determinantes para esclarecimento.
O produto é associativo, ou seja^[1]:

$(A B) C = A (B C) .$

O produto distribui sob a soma^[1]:

$(A + B) C = A C + B C$ $C (A + B) = C A + C B .$

Sejam A uma matriz de ordem m×n, B uma matriz de ordem n×p e $α$ um número real, então vale que:

$(α A) B = A (α B) = α (A B)$ ^[4].

Se A for uma matriz de ordem m×n, então vale que:

$A = A I_{n} = I_{m} A$ ^[4], pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de $I_{n} .$ De modo semelhante, o número de colunas de $I_{m}$ é igual ao número de linhas da matriz A.

Propriedade de matrizes transpostas: ${(A B)}^{T} = B^{T} A^{T}$ ^[1].

Observações:

No caso das matrizes, se AB = 0, não necessariamente A = 0 ou B = 0^[3], pois podemos ter

$A = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$ e $B = [\begin{matrix} 0 & 2 \\ 0 & - 4 \end{matrix}]$

tais que

$A \cdot B = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 0 & 2 \\ 0 & - 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] .$

Mas se tivermos A.0, então o resultado necessariamente será 0 (0 denota a matriz nula)^[2].

A lei do cancelamento não é válida, pois se A ≠ 0 e AB = AC, pode acontecer que B ≠ C^[3]. O caso a seguir ilustra isso:

Sejam $A = [\begin{matrix} 5 & 3 \\ 0 & 0 \end{matrix}],$ $B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}]$ e $C = [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ \frac{7}{3} & 0 \end{matrix}] .$

Note que AB = AC, pois

$[\begin{matrix} 5 & 3 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 & 3 \\ 0 & 0 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ \frac{7}{3} & 0 \end{matrix}]$

$\Rightarrow [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]$

porém B ≠ C.

Definições importantes de matrizes derivadas das propriedades da multiplicação

Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se tiver uma inversa $A^{- 1}$ de tal maneira que sua multiplicação resulte na matriz identidade, ou seja, $A * A^{- 1} = I_{n} .$
Neste caso, vale a comutatividade e $A^{- 1} * A = I_{n}$ ^[1].

Algoritmos para a multiplicar matrizes eficientemente

Predefinição:Não resolvido O tempo de execução da multiplicação de matrizes quadradas, se efetuada de forma intuitiva, é $O (n^{3}) .$ O tempo de execução para a multiplicação de matrizes retangulares (uma matriz m×p e outra p×n) é O(mnp), no entanto, existem algoritmos mais eficientes, tais como o algoritmo de Strassen, concebido por Volker Strassen em 1969, e chamado frequentemente de "multiplicação rápida de matrizes". Ele baseia-se em uma forma de multiplicar matrizes 2×2 que exige apenas 7 multiplicações (em vez das 8 usuais), em troca de fazer algumas oprerações de adição e subtração. A aplicação recursiva desse método produz um algoritmo cujo custo multiplicativo é $O (n^{\log_{2} 7}) \approx O (n^{2.807}) .$ O algoritmo de Strassen é mais complexo se comparado com o algoritmo intuitivo, e ele carece de estabilidade numérica. Mesmo assim, está disponível em diversas bibliotecas, tais como BLAS, em que sua eficiência é significativamente maior para matrizes de dimensão n > 100^[5], e é muito útil para matrizes grandes sobre domínios exatos tais como corpos finitos, em que a estabilidade numérica não é um problema.