Matriz transposta

Em matemática, matriz transposta é a matriz que se obtém da troca de linhas por colunas de uma dada matriz. Desta forma, transpor uma matriz é a operação que leva na obtenção de sua transposta. Neste artigo, a matriz transposta de uma matriz $M$ será representada por $M^{\mathrm{T}}$. Outras formas de representação encontradas na literatura são $M^t$ e $M^{\prime }$.

Definição

A transposta da matriz $A=[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n}$ é a matriz $A^{\mathrm{T}}=[a_{i,j}{]}_{j,i=1}^{n,m}$, i.e.:

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \dots & a_{m,n}\end{array}\right]\iff A^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{2,1}& \dots & a_{m,1}\\ a_{1,2}& a_{2,2}& \dots & a_{m,2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1,n}& a_{2,n}& \dots & a_{m,n}\end{array}\right]$

A operação de transpor uma matriz é a operação unitária ${}^{\mathrm{T}}:𝕄\to 𝕄$ definida no conjunto das matrizes $𝕄$ que associa a cada matriz $A$ sua transposta $A^{\mathrm{T}}$.

Exemplos

Veja alguns exemplos:

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right].$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right].$

• A matriz identidade é simétrica. Portanto, a matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

Construção

A reflexão dos elementos da matriz em relação à sua diagonal principal (elementos $1$ e $4$) produz a sua transposta.

A transposta de uma matriz $A=[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n}$ é construída por reflexão de seus elementos em relação à sua diagonal principal. Ou seja, o elemento da linha $i$-ésima linha e $j$-ésima coluna da matriz $A$ deve corresponder ao elemento da $j$-ésima linha e $i$-ésima coluna da matriz $A^{\mathrm{T}}$.

Uma das formas práticas de construir a matriz $A^{\mathrm{T}}$ é colocando em sua colunas as linhas da matriz $A$ na mesma ordem. Ou, equivalentemente, colocando as colunas da matriz $A$ nas linhas da matriz $A^{\mathrm{T}}$ na mesma ordem.

Propriedades

Matrizes transpostas têm as seguintes propriedades:

1. ${\left(A^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=A$
2. $(A+B{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}$
3. $(cA{)}^{\mathrm{T}}=c{A}^{\mathrm{T}}$
4. ${\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}$
5. $(A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\mathrm{T}}$, se $A$ é uma matriz não singular.
6. $\det (A^{\mathrm{T}})=\det (A)$
7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original. Por exemplo:

$X=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\Rightarrow X{X}^T=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]=$$\left[\begin{array}{cc}{a}^2+b^2& ac+bd\\ ca+db& c^2+d^2\end{array}\right]$

1. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original. Por exemplo:

$X=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\Rightarrow X^{T}X=\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=$$\left[\begin{array}{cc}{a}^2+c^2& ab+cd\\ ab+cd& b^2+d^2\end{array}\right]$

Demonstração.

1. ${\left(A^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=A$

Seja $A=[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n}$. Então, $A^{\mathrm{T}}=[a_{i,j}{]}_{j,i=1}^{n,m}$ e, portanto, ${\left(A^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}=[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n}=A$.

2. $(A+B{)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}$

Sejam $A=[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n}$ e $B=[b_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n}$. Então:

${(A+B)}^{\mathrm{T}}={([a_{i,j}+b_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n})}^{\mathrm{T}}=[a_{i,j}+b_{i,j}{]}_{j,i=1}^{n,m}=A^{\mathrm{T}}+B^{\mathrm{T}}$.

3. $(cA{)}^{\mathrm{T}}=c{A}^{\mathrm{T}}$

Seja $A=[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n}$. Então:

$(cA{)}^{\mathrm{T}}={(c[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n})}^{\mathrm{T}}={([c{a}_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n})}^{\mathrm{T}}=[c{a}_{i,j}{]}_{j,i=1}^{n,m}=c[a_{i,j}{]}_{j,i=1}^{n,m}=c{A}^{\mathrm{T}}$.

4. ${\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}$

Sejam $A=[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n}$ e $B=[b_{i,j}{]}_{i,j=1}^{n,p}$. Então:

$\begin{array}{cc}{\left(AB\right)}^{\mathrm{T}}& ={([a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{m,n}[b_{i,j}{]}_{i,j=1}^{n,p})}^{\mathrm{T}}\\ & ={\left({\left[\sum _{k=1}^n{a}_{i,k}{b}_{k,j}\right]}_{i,j=1}^{m,p}\right)}^{\mathrm{T}}\\ & ={\left[\sum _{k=1}^n{a}_{i,k}{b}_{k,j}\right]}_{j,i=1}^{p,m}\\ & ={\left[\sum _{k=1}^n{b}_{k,j}{a}_{i,k}\right]}_{j,i=1}^{p,m}\\ & =[b_{i,j}{]}_{j,i=1}^{p,n}[a_{i,j}{]}_{j,i}^{n,m}\\ & =B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}\end{array}$

5. $(A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\mathrm{T}}$, se $A$ é uma matriz não singular.

Se $A$ é uma matriz não singular, então $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$. Daí, segue que:

$I=I^{\mathrm{T}}={\left(A{A}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}=A^{\mathrm{T}}{\left(A^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}$

e

$I=I^{\mathrm{T}}={\left(A^{-1}A\right)}^{\mathrm{T}}={\left(A^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}$

ou seja, a inversa de $A^{\mathrm{T}}$ é a transposta de $A^{-1}$, como queríamos demonstrar.

6. $\det (A^{\mathrm{T}})=\det (A)$

Seja $A=[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{n,n}$. Por definição, o determinante de $A$ é dado por:

$\det (A):=\sum _{k=1}^{n!}\pm a_{1,s_{k,1}}{a}_{2,s_{k,2}}\cdots a_{n,s_{k,n}}$

onde, $s_{k,i}$ corresponde ao $i$-ésimo elemento da $k$-ésima permutação da sequência $(1,2,\dots ,n)$. E, o sinal no somatório é positivo se a permutação é par e negativo se a permutação for ímpar.

Observamos, que na definição de determinante, em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada linha, sem repetir a coluna, é escolhido. Isso é equivalente a dizer que em cada termo da soma exatamente um único elemento de cada coluna, sem repetir a linha, é escolhido, i.e.:

$\det (A)=\sum _{k=1}^{n!}\pm a_{s_{k,1},1}{a}_{s_{k,2},2}\cdots a_{s_{k,n},n}:=\det (A^T)$.

7. A multiplicação de uma matriz quadrada por sua transposta é uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva linha da matriz original.

Seja $A=[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{n,n}$. Então:

$A{A}^{\mathrm{T}}=[a_{i,j}{]}_{i,j=1}^{n,n}[a_{i,j}{]}_{j,i=1}^{n,n}={\left[\sum _{k=1}^n{a}_{i,k}{a}_{j,k}\right]}_{i,j=1}^{n,n}$

donde vemos que os termos da diagonal ($i=j$) são as somas dos quadrados dos elementos da respectiva linha. Como queríamos demonstrar.

8. A multiplicação da transposta de uma matriz quadrada por si mesma fornece uma matriz, cuja diagonal é formada pela soma dos quadrados dos elementos da respectiva coluna da matriz original.

Segue raciocínio análogo à demonstração da propriedade 7..

Ver também

• Matriz simétrica
• Matriz ortogonal
• Matriz congruente

Predefinição:Álgebra linear