Matriz congruente

Em matemática, matriz congruente é uma relação de equivalência no conjuntos das matrizes reais quadradas. Duas matriz $A$ e $B$ são congruentes, se existe uma matriz invertível $P$, do mesmo tipo, tal que $A=P^{T}BP$.

Definição

Uma matriz real quadrada $n\times n$ $A$ é congruente à matriz real quadrada $n\times n$ $B$ quando existe uma matriz $P$ invertível tal que $A=P^{T}BP$.

Observamos que esta definição exige que $P$ seja uma matriz quadrada de mesma ordem de $A$ e $B$.

Relação de equivalência

A relação de congruência define uma relação de equivalência no conjunto das matrizes reais quadradas ${𝕄}_n$, i.e.:

1. (reflexividade) toda matriz $A\in {𝕄}_n$ é congruente a si mesma;
2. (simetria) se $A\in {𝕄}_n$ é congruente a $B\in {𝕄}_n$, então $B$ é congruente a $A$;
3. (transitividade) se $A\in {𝕄}_n$ é congruente a $B\in {𝕄}_n$ e $B$ é congruente a $C\in {𝕄}_n$, então $A$ é congruente a $C$.

Da relação de simetria, vemos que está bem definido dizer que duas matrizes são congruentes (como exposto na introdução).

Demonstração

1. Basta observar que $A=I_n^{T}A{I}_n$, onde $I_n$ é a matriz identidade em ${𝕄}_n$.
2. Se $A\in {𝕄}_n$ é congruente a $B\in {𝕄}_n$, então, por definição, existe $P\in {𝕄}_n$ invertível tal que $A=P^{T}BP$. Escolhendo $Q=P^{-1}$, vemos que $B=Q^{T}AQ$, i.e. $B$ é congruente a $A$.
3. Se $A\in {𝕄}_n$ é congruente a $B\in {𝕄}_n$ e $B$ é congruente a $C\in {𝕄}_n$, então existem $P,Q\in {𝕄}_n$ tais que $A=P^{T}BP$ e $B=Q^{T}CQ$. Mas, então, temos $A=P^T(Q^{T}CQ)P=(QP{)}^{T}C(QP)$, i.e. $A$ é congruente a $C$.

Aplicações

Matrizes de uma forma bilinear

Seja $f:V\times V\to ℝ$ uma forma bilinear, onde $V$ é um espaço euclidiano de dimensão finita $n$. Seja, ainda, $B_u=\{{𝐮}_1,{𝐮}_2,\dots ,{𝐮}_n\}$ e $B_v=\{{𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n\}$ duas bases para $V$. Então, são congruentes as matrizes $A=[f({𝐮}_i,{𝐮}_j){]}_{i,j=1}^{n,n}$ e $B=[f({𝐯}_i,{𝐯}_j){]}_{i,j=1}^{n,n}$ da forma bilinear nas bases $B_u$ e $B_v$, respectivamente.

Demonstração

Sejam $𝐮,𝐯\in V$ e suas representações nas bases $B_u$ e $B_v$:

$𝐮=\sum _{i=1}^n{c}_i{𝐮}_i=\sum _{i=1}^{n}c{\text{'}}_i{𝐯}_i$

$\text{e}𝐯=\sum _{i=1}^n{d}_i{𝐮}_i=\sum _{i=1}^{n}d{\text{'}}_i{𝐯}_i$.

Seja, agora, $P$ a matriz de mudança da base $B_v$ para a base $B_u$, i.e.:

$𝐜=P{𝐜}^{\prime }\text{e}𝐝=P{𝐝}^{\prime }$

onde, $𝐜=(c_1,c_2,\dots ,c_n)$ e notação análoga para ${𝐜}^{\prime }$, $𝐝$ e ${𝐝}^{\prime }$.

Além disso, temos:

$f(𝐮,𝐯)=f(\sum _{i=1}^n{c}_i{𝐮}_i,\sum _{j=1}^n{d}_j{𝐮}_j)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{c}_{i}f({𝐮}_i,{𝐮}_j)d_i$

e

$f(𝐮,𝐯)=f(\sum _{i=1}^{n}c{\text{'}}_i{𝐯}_i,\sum _{j=1}^{n}d{\text{'}}_j{𝐯}_j)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}c{\text{'}}_{i}f({𝐯}_i,{𝐯}_j)d^{\prime }i$

donde, ${𝐜}^{T}A𝐝={{𝐜}^{\prime }}^{T}B{𝐝}^{\prime }$. O que, por sua vez, implica:

${{𝐜}^{\prime }}^T(P^{T}AP){𝐝}^{\prime }={{𝐜}^{\prime }}^{T}B{𝐝}^{\prime }$.

Como os vetores $𝐮$ e $𝐯$ são arbitrários, temos $B=P^{T}AP$, i.e., $A$ e $B$ são matrizes congruentes. Isso completa a prova.

Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis

Se a matriz $A$ é ortogonalmente diagonalizável, então exite uma matriz diagonal $D$ congruente a $A$.

Demonstração

Com efeito, uma matriz $A$ é ortogonalmente diagonalizável se, e somente se, existe uma matriz diagonal $D$ tal que:

$D=P^{-1}AP$

onde, $P$ é uma matriz ortogonal, i.e. $P^{-1}=P^T$. Isto é dizer, $D=P^{T}AP$, o que conclui a demonstração.

Ver também

• Matriz semelhante
• Matriz diagonalizável

Predefinição:Classes de matriz Predefinição:Álgebra linear