Matriz ortogonal

Isto é, uma matriz $M \in ℝ^{n \times n}$ é ortogonal se $M^{- 1} = M^{T}$

Definição

Uma matriz $M \in R^{n \times n}$ é dita ortogonal se:

ortogonal se for invertível, isto é: $d e t (M) \neq 0$ Predefinição:HarvRef; (necessário, mas não é suficiente)
ortogonal se somente se sua matriz inversa $M^{- 1}$ coincide com sua matriz transposta $M^{T}$ , isto é: $M^{- 1} = M^{T}$ Predefinição:HarvRef (necessário e suficiente)

I_{n} = {[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix}]}_{n \times n}

;

R_{θ} = [\begin{matrix} \cos θ & -sen θ \\ sen θ & \cos θ \end{matrix}]

R_{x} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}]

Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:^[1]

A matriz $A$ é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.^{[demonstração 2]}

A matriz $A$ é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.^{[demonstração 3]}

A matriz $A$ é ortogonal se, e somente se, sua transposta $A^{T}$ também é.^{[demonstração 4]}

Se $A$ é uma matriz ortogonal, então $c A$ é ortogonal se, e somente se, $c = \pm 1$ .^{[demonstração 5]}

↑ Da definição, tem-se que: $A^{T} \cdot A^{- 1} = I_{n}$ , então $d e t (A^{T} \cdot A^{- 1}) = d e t (I_{n}) = 1$ . Pelo Teorema de Binet, $d e t (A^{T} \cdot A^{- 1}) = d e t (A^{T}) \cdot d e t (A^{- 1})$ , então $d e t (A^{T} \cdot A^{- 1}) = d e t (A^{T}) \cdot d e t (A^{- 1}) = 1$ .
No entanto, sabe-se também da definição que $A^{T} = A^{- 1}$ implica $\det (A^{T}) = \det (A^{- 1})$ .
Logo, $d e t (A^{T}) \cdot d e t (A^{- 1}) = (d e t (A))^{2} = 1$ , de onde aplicando a raiz dos dois lados da equação, obtém-se $\det (A) = \pm 1$ .
↑ Seja $A = [𝐚_{1} 𝐚_{2} \dots 𝐚_{n}]$ uma matriz ortogonal, onde $𝐚_{i}$ indica a i-ésima coluna de $A$ . Como $A^{T} = A^{- 1}$ , temos $A^{T} A = I_{n}$ , donde vemos que:
$𝐚_{i} \cdot 𝐚_{j} = {\begin{matrix} 1 & , i = j \\ 0 & , i \neq j \end{matrix}$
isto é, o conjunto formado pelos vetores coluna ${𝐚_{1}, 𝐚_{2}, \dots, 𝐚_{n}}$ é um conjunto ortonormal.
Reciprocamente, se as colunas de $A$ formam um conjunto ortonormal de vetores, então vemos por cálculo direto que $A^{T} A = I_{n}$ .
↑ Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade anterior.
↑ Segue imediatamente da observação de que:
$A^{T} = A^{- 1} \Leftrightarrow (A^{T})^{T} = (A^{- 1})^{T} \Leftrightarrow A = (A^{T})^{- 1}$ .
↑ Por hipótese, $A^{T} = A^{- 1}$ . Com isso, temos:
$(c A)^{T} = c A^{T} = c A^{- 1}$ .
Agora, $c A^{- 1} = (c A)^{- 1}$ se, e somente se, $c = \pm 1$ . Isso completa a demonstração.