Forma bilinear

Predefinição:Sem fontes Em matemática, sobretudo na álgebra linear e na análise funcional, uma forma bilinear definida em um espaço vetorial (sobre um corpo $K$) $V$ é uma função $B:V\times V\to K$ linear em ambas as variáveis.

$\begin{array}{c}\text{1. }B(u+u^{\prime },v)=B(u,v)+B(u^{\prime },v)\text{,}\\ \text{2. }B(u,v+v^{\prime })=B(u,v)+B(u,v^{\prime })\text{,}\\ \text{3. }B(\lambda u,v)=B(u,\lambda v)=\lambda B(u,v)\text{.}\end{array}$

Uma forma bilinear em Fⁿ pode ser escrita como:

$B(\mathbf{\text{x}},\mathbf{\text{y}})={\mathbf{\text{x}}}^{\mathrm{T}}A\mathbf{\text{y}}=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{y}_j$

onde A é uma matriz de dimensões n x n.

Propriedades

Existem três casos importantes de formas bilineares:

• simétricas: quando B(u, v) = B(v, u) para todo u, v.
• alternadas: quando B(v, v) = 0 para todo v.
• anti-simétrica: quando B(u, v) = - B(v, u) para todo u, v.

Alternada implica anti-simétrica.

Currying

Usando o que em informática chama-se currying, pode-se interpretar toda função de duas variáveis como uma função de uma variável, cujo resultado é uma função.

Ou seja, uma forma bilinear B pode ser interpretada como $B_1\in L(V,L(V,K))$, ou seja:

$B_1:V\to L(V,K)$ é uma função linear, definida por

$(B_1(v))(w)=B(v,w)$

Em outras palavras, B₁ é uma transformação linear de V para o espaço dual V^*

Ver também

• Operador bilinear
• Forma quadrática
• Forma sesquilinear
• Produto interno
• Função n-linear