Matriz simétrica

Predefinição:Mais notas Em álgebra linear, uma matriz diz-se simétrica se coincidir com a sua transposta, ou seja, se $A=A^T.$

Propriedades

Seja $A$ uma matriz quadrada de ordem $n.$ Então:

• Se $A$ é simétrica, então para qualquer escalar $k,$ a matriz $k.A$ também é simétrica
• A matriz $B=A+A^T$ é simétrica
• A matriz $B=A-A^T$ é uma matriz antissimétrica
• $A$ sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica $S$ com uma matriz antissimétrica $T,$ isto é, $A=S+T,$ onde:

$$S=\frac{1}{2}(A+A^T)$$ $$T=\frac{1}{2}(A-A^T)$$

Além disso, deve-se notar que qualquer matriz simétrica:

• É quadrada, isto é, tem tantas linhas quanto colunas;
• Tem todos os valores próprios reais;
• É diagonalizável através de uma matriz ortogonal.

Exemplos

As matrizes a seguir são exemplos de matrizes simétricas:

• A matriz $S=S^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 9\\ 5& 3& 8\\ 9& 8& 7\end{array}\right]$ é simétrica.
• A matriz nula, de qualquer ordem;
• A matriz identidade, de qualquer ordem;
• A matriz $A+A^T,$ para qualquer matriz quadrada A.
• As matrizes $A^T\times A$ e $A\times A^T$ são simétricas, para qualquer matriz $A$ real $m\times n$. Por exemplo, a matriz $B=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 1& -1& 2\\ 0& 3& 0\end{array}\right]$ tem como transposta a matriz $B^T=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& -1& 3\\ 2& 2& 0\end{array}\right]$. Nenhuma delas é uma matriz simétrica. Entretanto, o produto dessas duas matrizes, $B\times B^T=\left[\begin{array}{ccc}8& 6& 0\\ 6& 4& -3\\ 0& -3& 0\end{array}\right]$, é uma matriz simétrica.

Ver também

• Matriz antissimétrica

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro

Predefinição:Classes de matriz Predefinição:Esboço-matemática