Álgebra multilinear

Em matemática, álgebra multilinear amplia os métodos da álgebra linear. Assim como a álgebra linear é construída sob o conceito de um vetor e desenvolve a teoria de espaços vetoriais, a álgebra multilinear baseia-se no conceito de um tensor e desenvolve a teoria de espaços tensoriais.

Aplicações Multilineares

Definição

Sejam $V_1,\cdots ,V_k,W$ espaços vetoriais sobre um corpo $𝕂$. Uma aplicação $f:V_1\times \cdots \times V_k\to W$ é dita multilinear (ou k-linear) se ela é linear em cada uma de suas componentes, isto é, se para todos $v_1\in V_1,\cdots ,v_i,{v_i}^{\prime }\in V_i,\cdots ,v_k\in V_k$ e $\alpha \in 𝕂$, valem

$f(v_1,\cdots ,v_i+{v_i}^{\prime },\cdots ,v_k)=f(v_1,\cdots ,v_i,\cdots ,v_k)+f(v_1,\cdots ,{v_i}^{\prime },\cdots ,v_k)$
$f(v_1,\cdots ,\alpha v_i,\cdots ,v_k)=\alpha f(v_1,\cdots ,v_i,\cdots ,v_k)$

É comum encontrar a definição trabalhando sobre $R$-módulos, em que $R$ é um anel comutativo com unidade, ao invés de sobre um corpo $𝕂$. Neste caso a definição é exatamente a mesma.

Exemplos

1. Toda transformação linear é um caso particular de uma aplicação 1-linear. Qualquer aplicação $f:V_1\times \cdots \times V_k\to W$ nula, para quaisquer espaços $V_1,\cdots ,V_k,W$ (sobre um mesmo corpo) é k-linear.
2. Seja $𝕂$ um corpo qualquer e $m$ um inteiro positivo qualquer. $𝕂$ admite uma estrutura de espaço vetorial sobre ele mesmo. Defina $f:𝕂\times \cdots \times 𝕂\to 𝕂$ por $f(x_1,\cdots ,x_m)=x_1\cdots x_m$ o produto dos elementos $x_1,\cdots ,x_m$. É fácil verificar que esta aplicação é m-linear.
3. Mais geralmente, seja $V$ um espaço vetorial sobre $𝕂$ (não necessariamente de dimensão finita) e fixe $f_1,\cdots ,f_m\in V^{\ast }$ funcionais lineares quaisquer. Então a aplicação $F:V\times \cdots \times V\to 𝕂$, definida por $F(v_1,\cdots ,v_n)=f_1(v_1)\cdots f_n(v_n)$ é n-linear, como pode ser verificado facilmente.
4. Sejam $n,m$ inteiros positivos. Os conjuntos ${𝕄}_n(𝕂)$ e ${𝕄}_m(𝕂)$, de todas as matrizes $n\times n$ e $m\times m$, respectivamente, sobre o corpo $𝕂$, formam um $𝕂$-espaço vetorial. Fixe uma matriz $A$, $n\times m$ com coeficientes em $𝕂$, e defina a aplicação $f:{𝕄}_n(𝕂)\times {𝕄}_m(𝕂)\to {𝕄}_{nm}(𝕂)$ por $f(X,Y)=XAY$ das propriedades de produto (usual) de matrizes (herdadas da estrutura de $𝕂$), segue que $f$ é uma aplicação 2-linear (ou bilinear).
5. Considere o espaço ${𝕂}^n$. Se ${\alpha }_1=(a_{11},\cdots ,a_{1n}),\cdots ,{\alpha }_n=(a_{n1},\cdots ,a_{nn})\in {𝕂}^n$ são vetores (representados na base canônica), então a aplicação $f:{𝕂}^n\times \cdots \times {𝕂}^n\to 𝕂$, definida por $f({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)=\det \left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{nn}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$ é n-linear, como pode ser verificado das propriedades clássicas de determinante. Este exemplo é importante porque é, em certo sentido, a única aplicação multilinear alternada.
6. Este é um importante exemplo. Sejam $V_1,\cdots ,V_k,W$ $𝕂$-espaços vetoriais, $f,g:V_1\times \cdots \times V_k\to W$ k-lineares e $\alpha \in 𝕂$. É fácil verificar que as aplicações $f+g$ e $\alpha f$, definidas por$(f+g)(v_1,\cdots ,v_k)=f(v_1,\cdots ,v_k)+g(v_1,\cdots ,v_k)$$(\alpha f)(v_1,\cdots ,v_k)=\alpha f(v_1,\cdots ,v_k)$ são k-lineares. Este exemplo mostra que o espaço de todas as aplicações k-lineares de $V_1\times \cdots \times V_k$ para $W$ é um subespaço vetorial, do espaço de todas as aplicações nestes domínio e contradomínio. Costuma-se denotar este espaço por $ℒ(V_1,\cdots ,V_k;W)$; quando temos um mesmo espaço $V$ repetido k vezes, denota-se simplesmente por ${ℒ}_k(V;W)$; e quando o contradomínio é o corpo de escalares, denota-se simplesmente por $ℒ(V_1,\cdots ,V_k)$ ou ${ℒ}_k(V)$.

Obs.: Todos os exemplos acima ainda valem, trocando "$𝕂$-espaço vetorial" por "$R$-módulo" e "corpo $𝕂$" por "anel comutativo com unidade $R$", e a verificação da multilinearidade é exatamente a mesma em ambos os casos.

Construção Universal

Obs.: Tudo o que será feito adiante ainda valerá trocando os nomes "$𝕂$-espaço vetorial" por "$R$-módulo" e "corpo $𝕂$" por "anel comutativo com unidade $R$". Isto se deve ao fato de todas as propriedades utilizadas dos espaços vetoriais serem exigidos nos R-módulos (os espaços vetoriais são um caso particular de módulo - módulos sobre corpos). Uma propriedade que um espaço vetorial carrega e um R-módulo geral não é a divisão por escalar não nulo, isto é, num corpo qualquer sempre podemos dividir por qualquer elemento não nulo, mas num anel comutativo com unidade geral não. Por exemplo em $\mathbb{Z}$, nem sempre podemos dividir por $2$.

Considere o seguinte enunciado universal: "dados $V_1,\cdots ,V_k$ espaços vetoriais sobre $𝕂$, existe um par $(\varphi ,M)$, em que $M$ é um $𝕂$-espaço vetorial e $\varphi :V_1\times \cdots \times V_k\to M$ é k-linear, tal que, dada qualquer $f:V_1\times \cdots \times V_k\to N$ k-linear, existe única $h:M\to N$ linear satisfazendo $f=h\circ \varphi$."
O par $(\varphi ,M)$ "transforma" qualquer aplicação k-linear em uma aplicação linear. A construção do par $(\varphi ,M)$ pode ser feita da seguinte maneira:

Chame de $V$ ao espaço vetorial formal gerado pelos elementos $V_1\times \cdots \times V_k$ sobre o corpo $𝕂$, isto é, os elementos de $V$ são somas finitas de elementos da forma $\alpha \cdot (v_1,\cdots ,v_k)$, em que $\alpha \in 𝕂$ e $(v_1,\cdots ,v_k)\in V_1\times \cdots \times V_k$, ou seja, o produto de um elemento do corpo com um elemento de $V_1\times \cdots \times V_k$. Por exemplo, em $V$, $1\cdot (v_1,0,\cdots ,0)+1\cdot ({v_1}^{\prime },0,\cdots ,0),1\cdot (v_1+{v_1}^{\prime },0,\cdots ,0)$ e $1\cdot (2v_1,0,\cdots ,0),2\cdot (v_1,0,\cdots ,0)$ são elementos distintos em $V$. No primeiro par, o primeiro elemento é a soma formal de dois elementos do produto $V_1\times \cdots \times V_k$ e o segundo elemento é um único elemento em $V_1\times \cdots \times V_k$, e são totalmente diferentes. No segundo par, o primeiro elemento é 1 multiplicado por um elemento, e o segundo, é 2 multiplicado por um outro elemento, e são totalmente diferentes.
Considere o subespaço $W<V$ gerado pelos seguintes elementos:

$(v_1,\cdots ,v_i,\cdots ,v_k)+(v_1,\cdots ,{v_i}^{\prime },\cdots ,v_k)-(v_1,\cdots ,v_i+{v_i}^{\prime },\cdots ,v_k)$
$(v_1,\cdots ,\alpha v_i,\cdots ,v_k)-\alpha (v_1,\cdots ,v_i,\cdots ,v_k)$

em que variam $\alpha \in 𝕂$ e $v_1\in V_1,\cdots ,v_i,{v_i}^{\prime }\in V_i,\cdots ,v_k\in V_k$. Defina o espaço quociente $M=V/W$ e a aplicação $\varphi :V_1\times \cdots \times V_k\to M$ de forma canônica. Por construção teremos $\varphi$ k-linear, e afirmamos que o par $(\varphi ,M)$ é o par que resolve o enunciado universal.

De fato, seja $f:V_1\times \cdots \times V_k\to N$ k-linear qualquer. Defina a aplicação $h:M\to N$, em que se $(v_1,\cdots ,v_k)\in V_1\times \cdots \times V_k$, então $h\overline{(v_1,\cdots ,v_k)}=f(v_1,\cdots ,v_k)$. Assim sendo, $h$ pode ser estendida por linearidade sobre $U$, e então, definida unicamente em $M$. Note que por $f$ ser k-linear, $h$ está bem definida. Por construção temos $f=h\circ \varphi$. Além disso, suponha $h^{\prime }$ também satisfazendo $f=h^{\prime }\circ \varphi$. Então, em particular, $h,h^{\prime }$ coincidem em todos os elementos $\overline{(v_1,\cdots ,v_k)}\in M$, e então, $h=h^{\prime }$. Isso conclui a construção.

Desta construção, temos que o par $(\varphi ,M)$ é único. De fato, se $({\varphi }^{\prime },M^{\prime })$ é outro par que satisfaz o enunciado universal, então, por ${\varphi }^{\prime }:V_1\times \cdots \times V_k\to M^{\prime }$ ser k-linear, existe $h:M\to M^{\prime }$ linear tal que ${\varphi }^{\prime }=h\circ \varphi$. Do mesmo modo, existe $h^{\prime }:M^{\prime }\to M$ linear tal que $\varphi =h^{\prime }\circ {\varphi }^{\prime }$. Destas relações, segue que $h\circ h^{\prime }\circ {\varphi }^{\prime }={\varphi }^{\prime }=1_{M^{\prime }}\circ {\varphi }^{\prime }$, em que $1_{M^{\prime }}$ é a identidade em $M^{\prime }$. Pela unicidade de $1_{M^{\prime }}$ (pois deve existir uma única aplicação linear $1_{M^{\prime }}:M^{\prime }\to M^{\prime }$ tal que ${\varphi }^{\prime }=1_{M^{\prime }}\circ {\varphi }^{\prime }$), teremos necessariamente $1_{M^{\prime }}=h\circ h^{\prime }$. Da mesma forma teremos $1_M=h^{\prime }\circ h$, de onde se conclui que $h$ é um isomorfimos com inversa $h^{\prime }$. Daí $M$ e $M^{\prime }$ são isomorfos, e tem-se a unicidade.

Produto tensorial

Existem muitas maneiras (equivalentes) de definir "produto tensorial". Apresentaremos alguns. Como de costume, tudo o que for feito poderá ser repetido trocando os termos "$𝕂$-espaço vetorial" por "$R$-módulo" e "corpo $𝕂$" por "anel comutativo com unidade $R$". A única exceção é quando fizermos referência à base de espaço vetorial, pois devemos exigir "anel comutativo com unidade livre".

Construção universal

Sejam $V_1,\cdots ,V_k$ espaços vetoriais sobre um corpo $𝕂$. Considere o (único) par $(\varphi ,M)$ que resolve o enunciado universal acima. O produto tensorial de $V_1,\cdots ,V_k$ é definido como o espaço vetorial $M$, e é denotado por $V_1\otimes \cdots \otimes V_k$. Se $v_1\in V_1,\cdots ,v_k\in V_k$, então denota-se $\varphi (v_1,\cdots ,v_k)$ por $v_1\otimes \cdots \otimes v_k$

Proposição: Seguindo a notação acima, os elementos $\varphi (v_1,\cdots ,v_k)=v_1\otimes \cdots \otimes v_k$ geram o espaço $M=V_1\otimes \cdots \otimes V_k$, variando os elementos $v_1\in V_1,\cdots ,v_k\in V_k$
Demonstração: Chame de $N$ o subespaço de $M$ gerado pelos elementos $v_1\otimes \cdots \otimes v_k$, como no enunciado, e considere o espaço quociente $W=M/N$. Isto induz uma aplicação multilinear $\pi :V_1\otimes \cdots \otimes V_k\to W$ (a projeção natural), e considere a aplicação nula $g:V_1\otimes \cdots \otimes V_k\to W$. Note que $\pi \circ \varphi =g\circ \varphi$, e por construção de $M$, necessariamente $\pi =g$, donde se conclui a afirmação.

Corolário: Se $u_1^i,\cdots ,u_{m_i}^i$ formam uma base para $V_i$, $i=1,\cdots ,k$, então os elementos $u_{i_1}^1\otimes \cdots \otimes u_{i_k}^k$ geram $V_1\otimes \cdots \otimes V_k$, para $i_1=1,\cdots ,m_k,\cdots ,i_k=1,\cdots ,m_k$.

Construção Concreta

Sejam $V_1,\cdots ,V_k$ $𝕂$-espaços vetoriais e considere $V_1^{\ast },\cdots ,V_k^{\ast }$ os seus duais algébricos. O produto tensorial de $V_1^{\ast },\cdots ,V_k^{\ast }$, denotado por $V_1^{\ast }\otimes \cdots \otimes V_k^{\ast }$, é o $𝕂$-espaço vetorial gerado pelos elementos $f_1\cdots f_k$ (produto de funções), em que se variam $f_1\in V_1^{\ast },\cdots ,f_k\in V_k^{\ast }$.

Ver também

• Tratamento clássico de tensores
• Tensor dinâmico
• Notação bra-ket
• Álgebra geométrica
• Álgebra de Clifford
• Pseudoscalar
• Pseudovetor
• Produto externo
• Número hipercomplexo

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