Regra de Cramer

Regra de Cramer para os inteiros

A regra de Cramer é um teorema em álgebra linear, que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752).

Se $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$ é um sistema de $n$ equações e $n$ incógnitas. (Onde $A$ é a matriz de coeficientes do sistema e o seu determinante é diferente de zero, $\overrightarrow{x}$ é o vetor coluna das incógnitas e $\overrightarrow{b}$ é o vetor coluna dos termos independentes)

Então $\mathrm{\forall }j,1\le j\le n$, a solução do sistema $x_j$ é dada por:

$x_j=\frac{\left|A_j\right|}{\left|A\right|}=\frac{det(A_j)}{det(A)}$

Em que Aj é a matriz que se obtém da matriz A substituindo a coluna j pela coluna dos termos independentes b.

Demonstração

Sejam os vetores $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ e $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$ e a matriz $A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$.

Seja ainda a matriz $A_j$, obtida pela substituição da coluna $j$ pelo vetor $\overrightarrow{b}$, tal que

$A_j=\left[\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1j-1}& b_1& a_{1j+1}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \ddots & & & & & ⋮\\ ⋮& & \ddots & & & & ⋮\\ ⋮& & & \ddots & & & ⋮\\ ⋮& & & & \ddots & & ⋮\\ ⋮& & & & & \ddots & a_{n-1n}\\ a_{n1}& \cdots & a_{nj-1}& b_n& a_{nj+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$.

Usando as propriedades da multiplicação de matrizes:

$A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}\iff A^{-1}A\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{b}\iff I\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{b}$

então:

$\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{b}=\frac{(\mathrm{Adj}A)}{\left|A\right|}\overrightarrow{b}$

Sejam:

$A^{-1}\overrightarrow{b}=p_{jk}$

$(\mathrm{Adj}A)=\frac{A_{pl}^{\prime }}{A_{pl}^{\prime }}=A_{lp}$

Portanto:

$A^{-1}\overrightarrow{b}=p_{jk}=\sum _{i=1}^n\frac{A_{ji}^{\prime }}{\left|A\right|}{b}_{ik}=\frac{\sum _{i=1}^n{A}_{ij}{b}_i}{\left|A\right|}{=}_{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}\frac{\left|A_j\right|}{\left|A\right|}$

(1) Recordando a definição de determinante, o somatório definido acumula a multiplicação do elemento adjunto o cofator da posição ij, com o elemento i-ésimo do vetor B (que é precisamente o elemento i-ésimo da coluna j, na matriz $A_j$

Exemplo

Um bom exemplo é a resolução de um simples sistema de equações 2x2:

Dado

$3x+1y=9$

$2x+3y=13$

que em forma matricial é:

$\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}9\\ 13\end{array}\right]$

x e y podem ser calculados usando a regra de Cramer

$x=\frac{\left|\begin{array}{cc}9& 1\\ 13& 3\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 3\end{array}\right|}=\frac{9*3-1*13}{3*3-1*2}=2$

$y=\frac{\left|\begin{array}{cc}3& 9\\ 2& 13\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 3\end{array}\right|}=\frac{3*13-9*2}{3*3-1*2}=3$

Bibliografia

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Ligações externas

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• Uma Aplicação Errônea da Regra de Cramer