Operação elementar (matrizes)

Em matemática, uma matriz elementar é uma matriz que difere da matriz identidade por uma única operação elementar de linha. As matrizes elementares geram o grupo linear geral de matrizes invertíveis. A multiplicação à esquerda (pré-multiplicação) por uma matriz elementar representa operações elementares de linha, enquanto a multiplicação à direita (pós-multiplicação) representa operações elementares de coluna.

Operações elementares de linha são usadas na eliminação gaussiana para reduzir a matriz a forma escalonada. Elas também são usadas na eliminação de Gauss-Jordan para reduzir ainda mais a matriz à forma reduzida escalonada.

Operações elementares de linha

Existem três tipos de matrizes elementares, que correspondem a três tipos de operações de linha (respectivamente, operações de coluna):

Troca de linha

Uma linha dentro da matriz pode ser alternada com outra linha.

$L_i\leftrightarrow L_j$

Multiplicação de linha

Cada elemento em uma linha pode ser multiplicado por uma constante diferente de zero.

$k{L}_i\to L_i,\text{onde }k\ne 0$

Adição de linha

Uma linha pode ser substituída pela soma dessa linha e um múltiplo de outra linha.

$L_i+k{L}_j\to L_i,\text{onde }i\ne j$

Se $E$ é uma matriz elementar, como descrito abaixo, para aplicar a operação de linha elementar a uma matriz $A$, multiplica-se $A$ pela matriz elementar à esquerda, $EA$. A matriz elementar para qualquer operação de linha é obtida executando a operação na matriz identidade.

Transformações de comutação de linha

O primeiro tipo de operação de linha em uma matriz $A$ alterna todos os elementos da matriz na linha $i$ com seus equivalentes na linha $j$. A matriz elementar correspondente é obtida trocando a linha $i$ e a linha $j$ da matriz identidade.

$T_{i,j}=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0& & 1& & \\ & & & \ddots & & & \\ & & 1& & 0& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right]$

Então $T_{ij}A$ é a matriz produzida pela troca da linha $i$ e $j$ de $A$.

Propriedades

• A inversa dessa matriz é ela mesma: $T_{ij}^{-1}=T_{ij}.$
• Como o determinante da matriz de identidade é a unidade, $det[T_{ij}]=-1$. Segue-se que, para qualquer matriz quadrada $A$ (do tamanho correto), temos $det[T_{ij}A]=-det[A]$

Transformações de multiplicação de linhas

O próximo tipo de operação de linha em uma matriz $A$ multiplica todos os elementos da linha $i$ por $m$, em que $m$ é um escalar diferente de zero (geralmente um número real). A matriz elementar correspondente é uma matriz diagonal, com entradas diagonais 1 em todos os lugares, exceto na $i$-ésima posição, onde é $m$.

$D_i(m)=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & m& & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right]$

Então $D_i(m)A$ é a matriz produzida a partir da multiplicação da linha $i$ por $m$.

Propriedades

• A inversa dessa matriz é: $D_i(m{)}^{-1}=D_i(\frac{1}{m})$
• A matriz e sua inversa são matrizes diagonais.
• $det[D_i(m)]=m$. Portanto, para uma matriz quadrada $A$ (do tamanho correto), temos $det[D_i(m)A]=mdet[A]$.

Transformações de adição de linha

O tipo final de operação de linha em uma matriz $A$ adiciona a linha $i$ multiplicada por um escalar $m$ à linha $j$. A matriz elementar correspondente é a matriz identidade, mas com um $m$ na posição $(j,i)$.

$U_{ij}(m)=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & \ddots & & & \\ & & m& & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right]$

Então $U_{ij}(m)A$ é a matriz produzida a partir de $A$ adicionando $m$ vezes a linha $i$ à linha $j$. E $A{U}_{ij}(m)$ é a matriz produzida a partir de $A$ adicionando $m$ vezes a coluna $j$ à coluna $i$.

Propriedades

• Essas transformações são uma espécie de transformação de cisalhamento.
• $U_{ij}(m{)}^{-1}=U_{ij}(-m)$ (matriz inversa).
• A matriz e sua inversa são matrizes triangulares.
• $det[L_{ij}(m)]=1$. Portanto, para uma matriz quadrada $A$ (do tamanho correto) temos $det[L_{ij}(m)A]=det[A]$.
• As transformações de adição de linha satisfazem as relações de Steinberg.

Referências

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