Lema de Gauss

Na teoria de polinómios, o lema de Gauss, ou critério da irredutibilidade de Gauss, afirma que se $D$ é um domínio de factorização única (DFU) e $𝕂$ é o seu corpo de quocientes (o corpo de fracções), então todo o polinómio primitivo $p\in D[x]$ é irredutível em $D[x]$ se, e só se o é em $𝕂[x].$ Neste contexto, um polinômio primitivo é um polinômio cujos coeficientes tem máximo divisor comum igual a um.

O critério de irredutibilidade de Gauss proporciona um resultado muito útil para demonstrar certas propriedades de divisibilidade nos anéis de polinómios.

Pela equivalência que assinala o critério entre a irredutibilidade de um polinómio primitivo em $D[x]$ e a irredutibilidade do mesmo polinómio em $𝕂[x],$ pode demonstrar-se que a ser $𝕂[x]$ um DFU também o é $D[x].$

Uma consequência importante do critério de irredutibilidade de Gauss é que se $D$ é um DFU então também o é $D[x],$ seja ou não este último anel um domínio de ideais principais (DIP). Assim, por exemplo, $\mathbb{Z}[x]$ não é um DIP mas sim é um DFU.