Função afim

Esquema explicativo de uma função afim.

Exemplo de uma função afim.

Uma função afim, também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial de primeiro grau é uma função do tipo $f(x)=ax+b,$ cujo gráfico é uma reta não perpendicular ao eixo $Ox.$ Tal função também pode ser entendida como uma transformação linear ($Ax$) seguida por uma translação ($+b$).

$x\mapsto Ax+b$

no caso finito-dimensional cada função afim é dada por uma matriz A e por um vetor B, que possam ser escritos como a matriz A com uma coluna extra do B. Fisicamente, uma função afim é a que preserva:

1. Colinearidade entre pontos, isto é, três pontos que se encontram em uma linha continuam a ser colineares após a transformação;
2. relações das distâncias ao longo de uma linha, isto é, para os pontos colineares distintos $p_1,p_2,p_3$, $||p_2-p_1||/||p_3-p_2||$

Uma função afim é composta de um ou de diversos transformadores lineares. Diversas transformações lineares podem ser combinadas em uma única matriz, assim que a fórmula geral dada acima é ainda aplicável.

Em uma dimensão (ou seja, quando x e y são escalares), os termos A e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear.

 Definição formal

Uma função $f:ℝ\to ℝ$ chama-se função afim quando existe dois números reais $a$ e $b$ tal que $f(x)=ax+b$ e $a\ne 0,$ para todo $x\in ℝ.$

Coeficientes

Para facilitar a análise dessas funções, dizemos que o coeficiente "a" da função é o coeficiente angular ou declividade da reta. Esse coeficiente determina a tangente do ângulo da inclinação da reta que representa a função, no sentido anti-horário em relação do eixo das abcissas.

O coeficiente "b" determina o deslocamento da reta em relação à origem, por isso ele é conhecido como coeficiente linear da reta.

Esboço do gráfico da função f(x)=2x, um exemplo de função linear

Função linear

Uma função linear é um caso particular da função afim onde $a\ne 0$ e $b=0,$ sendo, portanto, expressa como:

$f(x)=ax.$

Veja na figura ao lado um exemplo de gráfico de função linear.

Um caso específico da função linear é a função identidade, onde $a=1.$ Logo a função identidade é expressa como:

$f(x)=x.$

Observe na figura ao lado um exemplo de gráfico de função identidade.

Função linear e proporcionalidade

Esboço do gráfico da função f(x)=x, a função identidade

Uma das principais aplicações da função linear é a relação de proporção existente entre os elementos do domínio e da imagem, pois observamos que conforme variam os elementos do domínio, suas respectivas imagens variam na mesma proporção, sendo essa proporção o coeficiente angular da função, nesse caso chamado de taxa de variação.

Assim, seja a função linear $f(x)=ax,$ vemos que o conjunto dos pontos que representa a reta dessa função são os pontos do tipo $(x,ax),$ onde $a$ é a razão entre $y$ e $x.$

Essa relação será diretamente proporcional se a função for crescente e inversamente proporcional se a função for decrescente.

Crescimento ou decrescimento

Uma função afim pode ser crescente, decrescente, dependendo do valor do coeficiente angular. Uma função pode ainda ser constante, se a=0 e aí ela terá grau 0.

Crescente

Uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular for positivo, ou seja, $a>0.$

Esboço do gráfico da função f(x)=2x+1, um exemplo de função afim crescente

Demonstração:

Por definição, dizemos que uma função $f:A\to B$ definida por $y=f(x)$ é crescente no conjunto $A_1\subset A$ se, para dois valores quaisquer $x_1$ e $x_2$ pertencentes a $A_1,$ com $x_1<x_2,$ tivermos $f(x_1)<f(x_2).$

Sintetizando: $f$ é crescente quanto:

$(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2)(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2))$

Podemos reescrever isso como:

$(\mathrm{\forall }{x}_1<x_2)(x_1\ne x_2\Rightarrow \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0)$

Então, dada a função afim $f(x)=ax+b,$ dizemos que $f(x)$ é crescente se, e somente se:

$\frac{(a{x}_1+b)-(a{x}_2+b)}{x_1-x_2}>0,\mathrm{\forall }{x}_1<x_2$

Assim, podemos reescrever:

$\frac{a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}>0\iff a>0.$

Decrescente

Esboço do gráfico da função afim f(x)=-2x+1, um exemplo de função afim decrescente.

Uma função afim é decrescente quando seu coeficiente angular for negativo,ou seja, $a<0.$

Demonstração:

De forma similar à função crescente, uma função é decrescente se obedecer à seguinte restrição:

$(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2)(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2))$

Que é equivalente a dizer:

$(\mathrm{\forall }{x}_1<x_2)(x_1\ne x_2\Rightarrow \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0)$

Então, dada a função afim $f(x)=ax+b,$ dizemos que $f(x)$ é decrescente quando:

$\frac{(a{x}_1+b)-(a{x}_2+b)}{x_1-x_2}<0,\mathrm{\forall }{x}_1<x_2$

Reescrevendo isso, temos:

$\frac{a(x_1-x_2)}{x_1-x_2}<0\iff a<0.$

Constante

Predefinição:Artigo principal Uma função é constante (neste caso dizemos que ela não é afim) quando seu coeficiente angular for nulo, ou seja $a=0.$ Nesse caso a equação que define a função é dada por $f(x)=b$ e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo $Ox$.

Esboço do gráfico da função f(x)=2, um exemplo de função constante

Zero

O zero de uma função afim (ou raízes da função) é o valor de $x$ para o qual a função é igual a zero. Geometricamente o zero de uma função afim é o ponto de corte no eixo das abcissas.

Para definir este ponto basta resolver a equação $ax+b=0:$

Pontos de corte com os eixos em uma função afim

$ax+b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{a}.$

Logo o ponto de corte no eixo das abcissas é $(-\frac{b}{a},0).$

Toda e qualquer função afim também corta o eixo das ordenadas (eixo $oy$). Para definir este ponto de corte basta calcular $f(0):$

$f(0)=a.0+b=b.$

Logo o ponto de corte no eixo y é $(0,b).$

Aplicações

As funções afins possuem diversas aplicações, em situações que apresentam crescimento ou decrescimento linear.

 Relação com a progressão aritmética

Predefinição:Artigo principal Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante.

Logo, por ter essa característica, vemos que o crescimento de uma P.A é linear e pode, portanto, ser representado por uma função afim.

Para chegar até a função afim de uma P.A. partiremos da fórmula do termo geral, que é: $a_n=a_1+(n-1).r.$

Como buscamos conhecer um termo em função da sua posição em uma P.A., podemos reescrever a fórmula como:

$a(n)=a_1+(n-1).r$

Temos, aplicando a propriedade distributiva e organizando os termos:

$a(n)=r.n+(a_1-r),$

Esboço do gráfico da função $a(n)=3n-2,n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{*}}$

onde:

$a(n)$ é a variável dependente; $n$ é a variável independente; $r$ é o coeficiente angular; $(a_1-r)$ é o coeficiente linear.

O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais não nulos e a imagem é o conjunto dos números inteiros.

Exemplo:

Seja a progressão aritmética infinita $(1,4,7,10,13,16,19,...),$ vamos verificar se seus termos são definidos pela fórmula $a(n)=r.n+(a_1-r).$

Temos que $r=3$ e $a_1=1.$

Logo, a lei da função $a(n)$ é:

$a(n)=3.n+(1-3)\to a(n)=3n-2$

Observe ao lado o gráfico da função $a(n).$   

 Relação com o movimento retilíneo uniforme

Predefinição:Artigo principal Situações que envolvem movimento em linha reta e com velocidade fixa podem ser estudadas utilizando funções afins. Para isso é preciso analisar a posição do objeto que se movimenta em função do tempo.

A física define a velocidade de um objeto como a razão entre a variação da distância pela variação do tempo, como observamos na fórmula abaixo:

$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{s_f-s_i}{t_f-t_i}$,

onde:

$s_f$ é a distância final; $s_i$ é a distância inicial; $t_f$ a distância final e $s_i$ a distância inicial.

Podemos simplificar a expressão, pois na maioria dos casos temos como ponto de partida um tempo inicial nulo, $t_i=0.$

Logo é possível modificar a expressão utilizando algebrismos para encontrar uma função afim de posição em função do tempo.

$v=\frac{s_f-s_i}{t_f-0}⟶v.t_f=s_f-s_i.$

Podemos reescrever de modo a obter $s_f:$

$s_f=v.t_f+s_i$

Por fim basta renomear os termos para melhorar a lei da função. Assim dissemos que $s_f=s(t),$ $t_f=t$ e $s_i=s.$

Logo a lei da função posição é:

$s(t)=v.t+s$,

onde:

• $s(t)$ é a posição após o tempo $t;$        
• $v$ é a velocidade e o coeficiente angular da função;        
• $t$ é o tempo que dura o deslocamento;        
• $s$ é a posição inicial e também o coeficiente linear da função.      

Veja também

• Função não expansiva
• Função identidade
• Transformação geométrica
• Mapeamento contrativo

Bibliografia

• Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar,1: conjuntos, funções. 8. ed. São Paulo: Atual, 2004.