Mapeamento contrativo

Em matemática, uma função de contração, ou simplesmente contração ou contrator, em um espaço métrico (M, d) é uma função f de M para si mesma, com a propriedade de que existe algum número real $0\le k<1$ tal que para todos os x e y em M,

$d(f(x),f(y))\le k,d(x,y).$

O menor valor de k que satisfaz essa condição é chamado de constante de Lipschitz de f. Mapas contraídos são às vezes chamados de mapas Lipschitzianos. Se a condição acima for satisfeita para k ≤ 1, então o mapeamento é chamado de função não expansiva.

Em termos gerais, a ideia de um mapeamento contrativo pode ser definida para mapas entre espaços métricos. Assim, se (M, d) e (N, d') são dois espaços métricos, então $f:M\to N$ é um mapeamento contrativo se houver uma constante $0\le k<1$ tal que

$d^{\prime }(f(x),f(y))\le k,d(x,y)$

para x e y em M.

Todo mapeamento contraído é uma função Lipschitz contínua e, desse forma, uniformemente contínuo (para uma função Lipschitz contínua, a constante k nem sempre é necessariamente menor que 1).

Um mapeamento contrativo tem no máximo um ponto fixo. Além disso, o Teorema do ponto fixo de Banach afirma que todo mapeamento contrativo em um espaço métrico completo não vazio tem um ponto fixo único, e que para qualquer x em M a sequência de função iterada x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... converge para o ponto fixo. Esse conceito é muito útil para sistemas de funções iterativas onde mapeamentos contrativos são frequentemente utilizados. O teorema do ponto fixo de Banach também é aplicado para provar a existência de soluções de equações diferenciais ordinárias, e é usado em uma prova do teorema da função inversa.

Mapeamentos contrativos desempenham um papel importante em problemas de programação dinâmica.

Mapeamento firmemente não expansivo

Um mapeamento não expansivo com $k=1$ pode ser generalizado para um mapeamento firmemente não expansivo em um espaço de Hilbert $\mathscr{H}$ se o seguinte valer para todos os x e y em $\mathscr{H}$:

$|f(x)-f(y){|}^2\le ,⟨x-y,f(x)-f(y)⟩.$

em que

$d(x,y)=|x-y|$.

Esse é um caso especial de operadores não expansivos médios com $\alpha =1/2$. Um mapeamento firmemente não expansivo é sempre não expansivo, via a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

A classe de mapas firmemente não expansivos é fechada sob combinação convexa, mas não sob composições. Essa classe inclui mapeamentos proximais de funções próprias, convexas e semicontínuas inferiores, portanto, também inclui projeção ortogonal em conjuntos convexos fechados não vazios. A classe de operadores firmemente não expansivos é igual ao conjunto de resolventes de operadores maximalmente monotônicos. Surpreendentemente, enquanto iterar mapas não expansivos não tem garantia de encontrar um ponto fixo (por exemplo, multiplicação por -1), uma firme não-expansividade é suficiente para garantir convergência global para um ponto fixo, desde que um ponto fixo exista. Mais precisamente, se $\text{Fix}f:=x\in \mathscr{H}|f(x)=x\ne \varnothing$, então para qualquer ponto inicial $x_0\in \mathscr{H}$, ao iterar

$(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})x_{n+1}=f(x_n)$

resulta em convergência para um ponto fixo $x_n\to z\in \text{Fix}f$. Essa convergência pode ser fraca em um ambiente de dimensão infinita.

Mapa de subcontração

Um mapa de subcontração ou subcontratante é um mapa f em um espaço métrico (M, d) tal que

$d(f(x),f(y))\le d(x,y);$

$d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)\text{a menos que}x=f(x).$

Se a imagem de um subcontratante f for compacta, então f tem um ponto fixo.

Espaços localmente convexos

Em um espaço localmente convexo (E, P) com topologia dada por um conjunto P de seminormas, pode ser definido para qualquer p ∈ P um p-contrativo como um mapa f tal que haja algum k_p < 1 tal que Predefinição:Nowrap ≤ Predefinição:Nowrap. Se f for um p-contrativo para todos p ∈ P e (E, P) for sequencialmente completo, então f tem um ponto fixo, dado como limite de qualquer sequência x_n+1 = f(x_n), e se (E, P) for Hausdorff, então o ponto fixo é único.

Veja também

• Função não expansiva
• Função identidade
• Transformação geométrica
• Função afim

Leitura adicional

• Predefinição:Cite book fornece uma introdução em nível de graduação.
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