Teorema do ponto fixo de Banach

Predefinição:Sem fontes Em matemática, o teorema do ponto fixo de Banach, também conhecido como teorema da contração uniforme, é um dos resultados fundamentais em espaços métricos. Ele garante a existência e unicidade de pontos fixos em certas aplicações.

Enunciado

Seja $𝕏$ um espaço métrico completo não vazio com uma métrica $d$.

Uma aplicação $f:𝕏\to 𝕏$ é dita uma contração uniforme, se existir uma constante $0\le \beta <1$ tal que:

$d(f(x),f(y))\le \beta d(x,y),\mathrm{\forall }x,y\in 𝕏$

O teorema estabelece que existe um único ponto fixo $x^{*}\in 𝕏$, ou seja:

$f(x^{*})=x^{*}$

Demonstração da unicidade

Sejam $x$ e $y$ pontos fixos de $f$, então:

$d(x,y)=d(f(x),f(y))\le \beta d(x,y)$

$d(x,y)\le \beta d(x,y)$

$(1-\beta )d(x,y)\le 0$

Como $0\le \beta <1$, então $d(x,y)\le 0$. Como sabemos que $d(x,y)\ge 0$, temos $d(x,y)=0$, o que implica $x=y$.

Demonstração da existência

Escolha um ponto qualquer $x_0\in 𝕏$ e construa a seqüência:

$x_{n+1}=f(x_n),\mathrm{\forall }n\ge 1$

Mostraremos que esta é uma sucessão de Cauchy, para tal estime pela desigualdade triangular:

$d(x_{n+k},x_n)\le \sum _{j=1}^{k-1}d(x_{n+j},x_{n+j-1})$

Agora usando a definição de contração temos:

$d(x_{n+j},x_{n+j-1})\le {\beta }^{n+j-1}d(x_1,x_0)$

De forma que:

$d(x_{n+k},x_n)\le \sum _{j=1}^{k-1}{\beta }^{n+j-1}d(x_1,x_0)\le d(x_1,x_0){\beta }^n\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^{j-1}$

$d(x_{n+k},x_n)\le d(x_1,x_0)\frac{{\beta }^n}{1-\beta }\to 0,n\to \mathrm{\infty }$

Assim a $x_n$ é uma sucessão de Cauchy e converge para algum ponto $x^{*}\in 𝕏$

Devemos mostrar que $x^{*}$ é, de fato, um ponto fixo. Para tal observe:

$x_{n+1}=f(x_n)$

Passando ao limite, usando a continuidade de $f$ (o que segue da própria definição de contração), temos:

$x^{*}=f(x^{*})$

E o resultado segue.

Ver também

• Espaço métrico completo